- •Глава 1. Линейная алгебра.
- •§ 1. Определители.
- •§ 2. Матрицы.
- •§3. Пространство арифметических векторов. Ранг матрицы.
- •§4. Системы линейных уравнений.
- •§ 5. Ортогональные системы векторов.
- •§ 6. Линейные операторы.
- •§ 7. Квадратичные формы.
- •§ 8. Системы линейных уравнений и неравенств.
- •Глава 2. Векторная алгебра.
- •§1. Линейные операции над векторами.
§ 5. Ортогональные системы векторов.
Векторное пространство , в котором скалярное произведение векторов и определяется формулой , является евклидовым.
Два вектора и называются ортогональными, если .
Система векторов называется ортогональной, если векторы этой системы попарно ортогональны: при .
Базис -мерного евклидова пространства называется ортогональным, если при .
Каждый вектор единственным образом раскладывается по базису : , где числа называемые координатами вектора в ортогональном базисе , определяются по формулам: ( ).
Ортогональной составляющей вектора относительно ортогональной системы векторов называется вектор , где ( ).
Процессом ортогонализации системы векторов называется построение ортогональной системы ненулевых векторов по формулам: , , ,…, , где - ортогональные составляющие векторов относительно ортогональных систем векторов ( ). Если система векторов линейно зависима, то число векторов в ортогональной системе будет меньше .
1.123 Выяснить будут ли ортогональными следующие системы векторов.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
1.124 Проверить ортогональность систем векторов и дополнить их до ортогональных базисов.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
1.125 Найти координаты вектора в ортогональном базисе: , , , .
1.126 Найти координаты вектора в ортогональном базисе: , , .
1.127 Найти ортогональную составляющую вектора относительно ортогональной системы векторов .
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
В задачах 1.128-1.133 применяя процесс ортогонализации построить ортогональную систему векторов.
1.128 .
1.129 .
1.130 .
1.131 .
1.132 .
1.133 .
§ 6. Линейные операторы.
Оператором в (преобразованием пространства ) называется закон, по которому каждому вектору ставится в соответствие единственный вектор , и пишут Оператор называется линейным, если для любых векторов и действительных чисел выполнено условие: .
Если - базис , то матрицей линейного оператора в базисе называется квадратная матрица порядка , столбцами которой являются столбцы координат векторов . Каноническим базисом называется базис , где , , -единичные векторы. Между линейными операторами, действующими в и квадратными матрицами порядка , существует взаимно однозначное соответствие, что позволяет оператор представлять в матричном виде , где - матрицы-столбцы координат векторов , - матрица оператора в базисе .
Для линейных операторов вводятся операции: 1) сложение операторов: ; 2) умножение оператора на число: ; 3) умножение операторов: .
Обратным к оператору называется оператор такой, что , где - единичный (тождественный) оператор, реализующий отображение . Обратный оператор существует только для невырожденных операторов (операторов, матрица которых является невырожденной). Все, рассмотренные выше, действия над линейными операторами выполняют, выполняя аналогичные действия над их матрицами.
Пусть число и вектор , , таковы, что выполняются равенства: или . Тогда число называется собственным числом линейного оператора (матрицы ), а вектор - собственным вектором оператора (матрицы), соответствующим собственному числу . Равенство может быть записано и в виде , где - единичная матрица порядка , - матрица-столбец координат собственного вектора , соответствующего собственному числу , - нулевая матрица-столбец.
Характеристическим уравнением оператора (матрицы ) называется уравнение: .
Множество собственных чисел оператора (матрицы) совпадает с множеством корней его характеристического уравнения: , а множество собственных векторов, отвечающих собственному числу , совпадает с множеством ненулевых решений матричного уравнения: .
Если квадратная матрица порядка имеет собственные числа кратности , где , то она приводима к диагональному виду тогда и только тогда, когда выполнены условия: ( ). Если нарушается хотя бы одно из условий, то матрица к диагональному виду неприводима.
Приведение матрицы к диагональному виду осуществляется преобразованием: , где - матрица, столбцами которой являются линейно независимых собственных векторов матрицы , отвечающих собственным числам (каждому собственному числу кратности отвечает линейно независимых собственных векторов, образующих фундаментальную систему решений уравнения: ). Матрица при этом будет иметь диагональный вид, причём на главной диагонали будут стоять собственные числа матрицы .
В задачах 1.134-1.138 установить, какие из заданных отображений пространства арифметических векторов в себя являются линейными операторами, и выписать их матрицы в каноническом базисе.
1.134 .
1.135 .
1.136 .
1.137 .
1.138 .
В задачах 1.139-1.143 в пространстве заданы линейные операторы и . Найти матрицу линейного оператора , где и его явный вид в каноническом базисе .
1.139 ,
.
1.140 ,
.
1.141 ,
.
1.142 ,
.
1.143 .
.
В задачах 1.144-1.146 установить, какие из заданных в линейных операторов являются невырожденными, и найти явный вид обратных операторов .
1.144 .
1.145 .
1.146 .
В задачах 1.147-1.156 найти собственные числа и собственные векторы линейных операторов,заданных своими матрицами
1.147 . 1.148 .
1.149 . 1.150 .
1.151 . 1.152 .
1.153 . 1.154 .
1.155 . 1.156 .
В задачах 1.157-1.166 выяснить, какие из заданных матриц линейных операторов можно диагонализировать и найти:
а) диагональную форму матрицы; б) матрицу линейного преобразования, приводящего данную матрицу к диагональному виду.
1.157 . 1.158 .
1.159 . 1.160 .
1.161 . 1.162 .
1.163 . 1.164 .
1.165 . 1.166 .