Округление чисел

При вычислениях часто приходится иметь дело с числами, содержащими большое количество значащих цифр. Независимо от того, точные эти числа или приближенные, часть цифр иногда целесообразно отбрасывать. При округлении (отбрасывании) неизбежно появление погрешности. Минимальную погрешность округления дает следующее правило.

Правило 4. Чтобы округлить число до n-значащих цифр, отбрасывают все его цифры, стоящие справа от n-ой значащей цифры или, если это нужно для сохранения разрядов чисел, заменяют их нулями. При этом:

- если первая (справа) отбрасываемая цифра меньше 5, то все сохраняемые цифры остаются без изменений;

- если первая отбрасываемая цифра больше 5 или если она равна 5, но среди остальных отбрасываемых цифр есть ненулевые, то к последней сохраняемой цифре прибавляется единица;

- если первая отбрасываемая цифра равна 5, а все остальные отбрасываемые нули, то последняя сохраняемая цифра остается неизменной, если она четная и увеличивается на единицу, если она нечетная.

Задача 3. Округлить и определить абсолютную погрешность при округлении числа e с точностью до 0,01.

Решение. Последнее требование говорит о том, что мы должны округлить число е до второго знака после запятой (т.е. иметь две верные цифры после запятой). Запишем число с достаточно большим количеством значащих цифр е=2,7182818284590.

Требование по точности говорит о том, что две цифры после запятой должны быть верными. Так как справа от 1 стоит число 8, то получим е=2,72 . Абсолютная погрешность (с точностью до 5-го знака после запятой) составит:

а так как 0,00172<0,005, можно утверждать, что стоящая во втором отрицательном разряде цифра 2 является верной. Относительная погрешность округления будет равна:

или 0,06323%. Это бесконечно мало.

Правило записи приближенных чисел

При решении задач приближенными методами прежде всего надо обеспечивать необходимую точность результатов. Однако бесконтрольная и чрезмерная точность приводят к существенным экономическим и временным затратам при выполнении расчетов и это независимо от того, как он производится – вручную с помощью простейших калькуляторов или с использованием мощных компьютерных систем.

Эти вопросы тесно связаны с количеством цифр в представлении числовых данных. Во многих случаях для достижения требуемой точности нет нужды пользоваться всеми имеющимися ресурсами вычислительных устройств или выписывать все предоставляемые ими цифры результатов. Следует иметь в виду: точность вычислений зависит не от количества значащих цифр приближенных чисел, а от количества верных значащих цифр.

В то же время сохранять всегда только верные цифры неразумно.

Правило 5: в промежуточных результатах вычислений обычно сохраняются одна-две сомнительные цифры, а окончательно результаты округляют с сохранением не более одной сомнительной цифры. В ответах часто оставляют только верные цифры.

Вычисление погрешностей при арифметических действиях

В практике вычислений, производимых с приближенными числами, неизбежно возникает вопрос о влиянии погрешностей исходных чисел на погрешность конечного результата. Рассмотрим эту проблему подробнее.

Предположим, что вычисляется сумма С приближенных чисел А_i, т.е.

, где . Искомую сумму можно записать так: , или

, где , .

Правило 6: при сложении (вычитании) приближенных чисел результат является также приближенным числом, у которого абсолютная погрешность равна сумме абсолютных погрешностей всех слагаемых.

Относительная погрешность суммы рассчитывается следующим образом: .

Следует обратить внимание на то, что погрешность каждого слагаемого имеет знак (±), тем не менее при вычислении суммы (или разности приближенных чисел) погрешности слагаемых всегда записываются со знаком (+), но погрешность суммы ∆с будет иметь знак (±).

Определим правило расчета погрешности произведения приближенных чисел. Для этого рассмотрим частную задачу – найдем произведение двух приближенных чисел , где , .

Запишем .

Так как из всех слагаемых последнее парное произведение является бесконечно малой величиной более высокого порядка, им можно пренебречь. Тогда, разделив вышеприведенное равенство на произведение , получим .

Заметив, что , , ,

получаем значение относительной погрешности произведения ,

значение абсолютной погрешности произведения .

Эти выводы можно распространить на любое количество сомножителей. Действительно, если находится произведение приближенных чисел , где , , ,

то , где , .

Правило 7. При умножении приближенных чисел результат будет иметь относительную погрешность, равную сумме относительных погрешностей сомножителей, а абсолютная погрешность произведения должна вычисляться через относительную по общему правилу.

Из последнего правила можно, как частный случай произведения, получить зависимости для расчета погрешности при возведении приближенного числа в степень (равно как и вычислении корня из приближенного числа). Действительно, если вычисляется

, где , , тогда .

Учитывая, что , а , запишем

, , .

Задача 4. Определить, какое равенство записано точнее или .

Решение. Находим значения равенств с большим числом десятичных знаков: , .

Затем вычисляем абсолютные погрешности:

Если увеличивать количество десятичных знаков после запятой, вычисляя а₁ и а₂ , соответственно также будут увеличиваться количество десятичных разрядов и у погрешности. Поэтому можно перейти к так называемым предельным абсолютным погрешностям:

.

Абсолютные погрешности не позволяют провести сравнительный анализ двух вычислений на точность. С этой целью следует рассчитать относительные погрешности. Они будут равны: или ,

или .

Очевидно, что первое вычисление выполнено с более высокой точностью, чем второе. Следовательно, только относительные погрешности позволяют сделать сравнительный анализ на достигнутую точность вычислений, причем на этот анализ не влияют ни абсолютные значения чисел, ни их размерность.

Задача 5. Вычислить и определить погрешности результата:

при следующих значениях величин: , , .

Решение. Находим результаты вычислений , , , .

Рассчитываем относительные погрешности исходных чисел:

, , .

Рассчитаем погрешность результата:

,

.

Ответ: ; .