Векторное произведение в координатной форме.

ab= (a_xi + a_yj + a_zk)×( b_xi + b_yj + b_zk)= a_x b_x i× i + a_x b_y i× j + a_x b_z i ×k +

+a_y b_x j×i + a_y b_y j×j + a_y b_z j×k + a_z b_x k×i + a_z b_y k× j + a_z b_z k×k=

= a_x b_y k – a_x b_z j- -a_y b_x k+ a_y b_z i+ a_z b_x j - a_z b_y i=

= i(a_y b_z - a_zb_y )- j( a_x b_z - a_z b_x)+ k(a_x b_y - a_y b_x )=

=i - j + k .

.

Приложения векторного произведения.

1) Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b, как на сторонах, численно равна модулю векторного произведения a  b.

S_пар=│a  b│.

Из геометрии: S_пар=│a│·│b│sin φ.

Так как │a  b│= │a│·│b│sin φ, отсюда следует, что S_пар=│a  b│.

Следствие: из геометрии S_пар=│a·│h_a, ,

где h_a – высота, проведенная к стороне a.

2) _.

3) a║b. Отсюда следует, что ab=0 (из условия коллинеарности двух векторов).

│ab│= │a│·│b│sin φ= 0,

│ab│= 0.

Пример. Дано a=2p–q, b=p+3q, │q│=2,│p│=1,  = (p, q)= . Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

Пример. Дан ∆ABC. т. А(2, -1, 3), т. B(4, 0, -2), т. С(1, -1, 3). Найти S_∆-?, h_AB-?

Смешанное произведение трех векторов.

Определение: Смешанным произведением трех векторов a, b, c, взятых в таком порядке называется число, равное (ab)•с.

По определению: abc.

Чтобы вычислить смешанное произведение нужно:

1) вектор умножить векторно на : ab= вектор;

2) полученный вектор умножить на с скалярно: (a´b)•с= число.

Свойства смешанного произведения:

1° смешанное произведение вкруговую abc= - bac= bca= ...

2° (λa)bc= λ(abc).

3° (a+ b) cd= acd+ bcd.

4° ijk= (i×j)• k= k• k= │k│²= 1. ijk= 1.

Смешанное произведение в координатной форме.

Возьмем три вектора в координатной форме:

а= (а_х, а_у, а_z)= a_xi + a_yj + a_zk;

b= (b_x, b_y, b_z)= b_xi + b_yj + b_zk;

с= (с_x, с_y, с_z) = c_xi + c_yj + c_zk.

abc= (ab)• с.

.

Приложения смешанного произведения.

1) Модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на трех векторах как на ребрах.

V_парал= │abc│.

Из геометрии: V_парал= S_осн· h.

S_осн= S_пар=│ab│.

Из приложения векторного произведения:

h=│с│·cos φ.

V_парал= │ ab │·│c│·cos φ =│(ab) • с│=│abc│.

Следствие: высота параллелепипеда h= .

2) V_тетр= V_парал= │abc│.

Из геометрии: V_тетр= S_осн· h; h_тетр= .

3) Если смешанное произведение abc>0, то тройка векторов правая; если abc<0, то тройка векторов левая.

abc= (ab) • с = │ab│·│c│·cos φ.

abc>0, cos φ >0, - острый, abc - правая тройка.

abc<0, cos φ <0, - тупой, abc - левая тройка.

4) abc – компланарные, если параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости.

Условие компланарности: abc=0.

ab  плоскости α.

ab  с, (ab) • с = 0 (условие перпендикулярности двух векторов), abc=0.

Пример. Лежат ли четыре точки A(1;2;-1), B(0;1;5), C(-1;2;1), D(2;1;3) в одной плоскости?

Задание вектора в пространстве.

Любой вектор в пространстве имеет длину и направление.

Длина вектора │а│= .

Направление вектора задают три направляющих косинуса: cos α, cos β, cos γ, где α- угол между и ОХ, β- угол между a и ОУ, γ- угол между a и OZ.

α= Ð (a,i), β=Ð (a,j), γ =Ð (a,k).

cos α= , cos β= , cos γ= .

Свойство направляющих косинусов:

cos² α+ cos² β+ cos² γ= 1.

Определение: Единичный вектор, имеющий своими координатами направляющие косинусы вектора a называется единичным вектором направления а и обозначается a₀= (cosα, cosβ, cosγ).