Числовая последовательность

Последовательность

Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Содержание 1 Определение 2 Примеры 3 Операции над последовательностями 4 Подпоследовательности 4.1 Примеры 4.2 Свойства 5 Предельная точка последовательности 6 Предел последовательности 7 Некоторые виды последовательностей 7.1 Ограниченные и неограниченные последовательности 7.1.1 Критерий ограниченности числовой последовательности 7.1.2 Свойства ограниченных последовательностей 7.2 Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности 7.2.1 Свойства бесконечно малых последовательностей 7.3 Сходящиеся и расходящиеся последовательности 7.3.1 Свойства сходящихся последовательностей 7.4 Монотонные последовательности 7.5 Фундаментальные последовательности

Определение

Пусть множество X — это либо множество вещественных чисел , либо множество комплексных чисел . Тогда последовательность элементов множества X называется числовой последовательностью.

Примеры

• Функция является бесконечной последовательностью целых чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид .

• Функция является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид .

• Функция, сопоставляющая каждому натуральному числу одно из слов «январь», «февраль», «март», «апрель», «май», «июнь», «июль», «август», «сентябрь», «октябрь», «ноябрь», «декабрь» (в порядке их следования здесь) представляет собой последовательность вида . В частности, пятым членом x₅ этой последовательности является слово «май».

Операции над последовательностями

На множестве всех последовательностей элементов множества X можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множестве X. Такие операции обычно определяют естественным образом, т. е. поэлементно.

Пусть на множестве X определена N-арная операция f: Тогда для элементов , , …, множества всех последовательностей элементов множества X операция f будет определяться следующим образом:

Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.

Суммой числовых последовательностей (x_n) и (y_n) называется числовая последовательность (z_n) такая, что z_n = x_n + y_n.

Разностью числовых последовательностей (x_n) и (y_n) называется числовая последовательность (z_n) такая, что z_n = x_n − y_n.

Произведением числовых последовательностей x_n и y_n называется числовая последовательность (z_n) такая, что .

Частным числовой последовательности x_n и числовой последовательности y_n, все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность . Если в последовательности y_n на позиции всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность .

Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или даже кольца.