- •Волгодонский инженерно-технический институт - филиал нияу мифи
- •Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства.
- •Теоремы о линейно зависимых системах векторов линейного пространства.
- •Размерность и базис линейного пространства.
- •Теорема о разложении вектора по базису.
- •Координаты вектора в данном базисе. Операции с векторами в координатной форме.
- •Евклидово пространство.
- •Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе.
- •Декартовая система координат.
- •Координаты точки, радиус- вектор точки, произвольные вектора. Длина вектора.
- •Проекция вектора на ось.
- •Теоремы о проекциях.
- •Связь между координатами вектора и проекциями вектора на координатной оси.
- •Условие коллинеарности двух векторов.
- •Скалярное произведение векторов.
- •Свойства скалярного произведения.
- •Скалярное произведение координатных ортов.
- •Скалярное произведение в координатной форме. Возьмем два вектора в координатной форме
- •Приложения скалярного произведения.
- •Векторное произведение двух векторов.
- •Векторные произведения координатных ортов.
- •Векторное произведение в координатной форме.
- •Приложения векторного произведения.
- •Смешанное произведение трех векторов.
- •Смешанное произведение в координатной форме.
- •Приложения смешанного произведения.
- •Задание вектора в пространстве.
- •Аналитическая геометрия. Плоскость в пространстве.
- •Анализ общего уравнения.
- •Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.
- •Уравнение плоскости в отрезках.
- •Взаимное расположение двух плоскостей.
- •Прямая в пространстве.
- •Общее уравнение прямой в пространстве.
- •Переход от одних уравнений прямой к другим.
- •Взаимное расположение прямых в пространстве.
- •Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •Расстояния между различными объектами в пространстве.
- •Прямая на плоскости.
- •Взаимное расположение прямых на плоскости.
- •Кривые второго порядка.
- •Окружность.
- •Эллипс.
- •Гипербола.
- •Парабола.
- •Сфера в пространстве.
Министерство образования и науки российской федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
Волгодонский инженерно-технический институт - филиал нияу мифи
Конспект лекций
по теме:
«Векторная алгебра и аналитическая геометрия»
Волгодонск
Линейные (векторные) пространства.
Определение: Множество L называется линейным (векторным) пространством, если на нем введены две операции:
1) сложение: для любых х, у Є L сумма (х + у) Є L,
2) умножение на число: для любого х Є L и любого числа λ произведение
λх Є L,
которые удовлетворяют 8 аксиомам:
х + у = у + х, где х,у Є L;
(х + у)+z = x+(у + z), где х,у,z Є L;
существует нулевой элемент Ө такой, что Ө + х = х, где х Є L;
для любого х Є L существует единственный противоположный элемент
(–х) такой, что х + (-х)= Ө;
1·х = х, где х Є L;
α(βх) = (αβ)х, где х Є L, α и β- числа;
α(х + у) = αх + αу, где х,у Є L, α- число;
(α + β) х = αх + βх, где х Є L, α и β- числа.
Замечание: Элементы линейного (векторного) пространства называют векторами.
Примеры:
Множество действительных чисел является линейным пространством.
Множества всех векторов на плоскости и в пространстве являются линейным пространством.
Множество всех матриц одного размера является линейным пространством.
Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства.
Дана в линейном пространстве система векторов а1, а2, а3, … аn Є L.
Определение: Вектор α1 а1+ α2 а2+…+ αn аn Є L, где αi (i = 1,…,n) - числа, называется линейной комбинацией(ЛК) векторов а1, а2, а3, … аn.
Определение: Система векторов линейного пространства а1, а2, а3, … аn Є L называется линейно независимой (ЛНЗ), если линейная комбинация
α1 а1+ α2 а2+α3 а3+…+ αn аn=0 тогда и только тогда, когда коэффициенты
α 1 =α 2 =α 3 =…=α n=0.
Определение: Система векторов а1, а2, а3, … аn Є L называется линейно зависимой (ЛЗ), если существует набор чисел α1, α2 ,α3 … αn, не все из которых равны 0, такие что линейная комбинация α1 а1+ α2 а2+…+ αn аn= 0.
Примеры:
Два вектора называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой или лежат на одной прямой.
1) Рассмотрим два ненулевых, неколлинеарных вектора на плоскости. Диагональ =0 .
а1 α1 а1
Два ненулевых, не коллинеарных вектора на плоскости линейно независимы.
2) Рассмотрим два ненулевых , коллинеарных вектора а1 ║а2.
а2
а1
Линейная комбинация равна нулю, есть не нулевой коэффициент, следовательно, два коллинеарных вектора на плоскости линейно зависимы.
Теоремы о линейно зависимых системах векторов линейного пространства.
Теорема 1. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости.
Для того чтобы система векторов линейного пространства была линейно зависимой необходимо и достаточно, чтобы какой-нибудь вектор этой системы был линейной комбинацией всех остальных.
Д ок-во: Необходимость ( ).
Дана ЛЗ система. Нужно доказать, что один вектор ЛК всех остальных.
а1, а2, а3, … аn – ЛЗ система векторов, т.е. среди α1, α2 ,α3 … αn существует число отличное от нуля так, что ЛК α1 а1+ α2 а2+α3 а3+…+ αn аn= 0.
Положим для определения, что коэффициент α1 ≠ 0. Разделим обе части последнего равенства на α1 ≠ 0:
;
.
Отсюда следует, что а1 - ЛК остальных векторов.
Необходимость доказана.
Д остаточность ( ).
Пусть один вектор – это линейная комбинация остальных. Нужно доказать, что система векторов ЛЗ.
Пусть αn = α1 а1+ α2 а2+α3 а3+…+ αn-1 аn-1.
α1 а1+ α2 а2+α3 а3+…+ αn-1 аn-1- 1αn = 0.
Так как есть не нулевой коэффициент, то система векторов а1, а2, а3, … аn- линейно зависима.
Ч.т.д.
Теорема 2. Система, содержащая нуль-вектор, линейна зависима.
Док-во: Рассмотрим систему векторов, содержащую нуль-вектор. а1, а2, а3, … аn,Ө, где Ө ‒ нуль-вектор. Очевидно, что имеет место следующее равенство 0·а1+ 0· а2+0· а3+…+ 5·Ө = 0.
Есть не равный нулю коэффициент, равный 5, а линейная комбинация равна 0, отсюда следует, что система векторов ЛЗ.
Ч.т.д.
Теорема 3. Система, содержащая линейно зависимую подсистему, тоже будет линейно зависима.
Док-во: Рассмотрим систему векторов а1, а2, …,ак, ак+1 … аn, где а1, а2,…, ак - линейно зависимый кусочек. α1 а1+ α2 а2+ … +αкак= 0. Есть коэффициент отличный от нуля.
Очевидно, что с этими же коэффициентами будет выполняться равенство
α1 а1+ α2 а2+…+αк ак+…+0· ак+1+…+ 0·αn = 0.
Отсюда следует, что система векторов ЛЗ.
Ч.т.д.