- •Понятие функции, способы задания функции.
- •Основные характеристики функции.
- •Основные элементарные функции.
- •Последовательность. Предел последовательности.
- •Сходящиеся и ограниченные последовательности.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Связь между ними.
- •Свойства сходящихся последовательностей.
- •Предел функции.
- •Единственность предела функции.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Иx свойства.
- •Необходимое и достаточное условие существования предела функции. Теорема о представлении функции, имеющей предел:
- •Арифметические операции с пределами.
- •Теоремы о предельном переходе в неравенствах.
- •Первый замечательный предел.
- •Второй замечательный предел.
- •Следствия из второго замечательного предела.
- •Сравнение бесконечно малых.
- •Непрерывность функции.
- •Свойства непрерывных функций.
- •Точки разрыва и их классификация.
- •Теоремы о непрерывных функциях.
- •Производная функции одной переменной.
- •Связь между непрерывностью функции и существованием производной.
- •Геометрический и физический смысл производной. Геометрический смысл производной.
- •Правила вычисления производной.
- •Производные тригонометрических функций.
- •Производные обратных тригонометрических функций.
- •Производная сложной функции.
- •Производная обратной функции.
- •Логарифмическое дифференцирование. Производная степенной функции.
- •Дифференциал, его геометрический смысл, правила вычисления.
- •Геометрический смысл дифференциала.
- •Применение дифференциала.
- •Производные высших порядков. Производная высших порядков.
- •Механический смысл второй производной.
- •Уравнение касательной и нормали к кривой.
Министерство образования и науки российской федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ
Конспект лекций
по теме:
«Пределы, непрерывность.
Производные»
Волгодонск
Понятие функции, способы задания функции.
Определение: Если каждому элементу множества D поставлен в соответствие единственный элемент множества E, то говорят, что задана однозначная функция действующая из D в E.
D – область определения функции. E – множество значений функции.
xD – аргумент функции, yE – значение функции.
Способы задания функции:
1) Описание.
2) Табличный.
-
x
1
2
3
4
y
1
8
27
64
3) Графический.
Определение: Графиком функции y=f(x) называется множество точек плоскости с координатами (x,f(x)), где xD(f).
4) Аналитический.
С помощью формулы y=f(x). Например: y=sin x+x2, y=2x3.
Область определения функции D(f) или D(y) – это множество тех значений аргумента x, при которых формула, задающая функцию, имеет смысл.
Основные характеристики функции.
1. Возрастающие и убывающие функции.
Функция y=f(x) называется возрастающей на (а;b), если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. x1x2 выполняется f(x1) f(x2). |
x2 |
Функция y=f(x) называется убывающей на (а;b), если большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции, т.е. x1x2 выполняется f(x1)f(x2). |
x1 x2 |
Возрастающие и убывающие функции на (а;b) называются монотонными на этом интервале.
2. Четные, нечетные и периодические функции.
Функция y=f(x) называется нечетной, если область определения функции D(y) симметрична относительно точки О(0;0) и y(-x)=-y(x).
График нечетной функции имеет симметрию относительно точки О(0;0). Пример: y=x3.
Функция y=f(x) называется четной, если область определения D(y) симметрична относительно точки О(0;0) и y(-x)=y(x).
График четной функции имеет симметрию относительно оси Оy.
Пример: y=x2.
Функции, не являющиеся четными или нечетными, называются функциями общего вида.
Пример: y=x2+x+1 или y=x+2.
Функция y=f(x) называется периодической с наименьшим положительным периодом T, если f(x+T)=f(x).
Пример: sin(x+2)=sin x, где T=2;
cos(x+2)=cosx, где T=2;
tg(x+)=tgx, T=;
ctg(x+)=ctg x, T=.
Уравнение F(x,y)=0 задает y как неявную функцию от x.
Пример: ey +x =0 ‒ неявное задание функции.
x2y3+cos(xy4)=0 – неявное задание функции.
y=x3+1/x – явное задание функции.
3. Сложная и обратная функции.
Пусть функция y=f(x) действует из множества D во множество E (DE), а функция x=x(t) действует из множества T во множество D (TD), тогда сложная функция y=f(x(t)) действует из T в E.
Пример: y=sin(y2+1) - функция x(t)=t2+1, функция y(x)=sin x.
Пусть y=f(x) действует DE, обратная функция x=(y) действует из ED.
Пример: y=2x –3. Выразим отсюда x: x=(y+3)/2, заменим x на y, а y на x y=(x+3)/2 – обратная функция.