- •Понятие функции, способы задания функции.
- •Основные характеристики функции.
- •Основные элементарные функции.
- •Последовательность. Предел последовательности.
- •Сходящиеся и ограниченные последовательности.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Связь между ними.
- •Свойства сходящихся последовательностей.
- •Предел функции.
- •Единственность предела функции.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Иx свойства.
- •Необходимое и достаточное условие существования предела функции. Теорема о представлении функции, имеющей предел:
- •Арифметические операции с пределами.
- •Теоремы о предельном переходе в неравенствах.
- •Первый замечательный предел.
- •Второй замечательный предел.
- •Следствия из второго замечательного предела.
- •Сравнение бесконечно малых.
- •Непрерывность функции.
- •Свойства непрерывных функций.
- •Точки разрыва и их классификация.
- •Теоремы о непрерывных функциях.
- •Производная функции одной переменной.
- •Связь между непрерывностью функции и существованием производной.
- •Геометрический и физический смысл производной. Геометрический смысл производной.
- •Правила вычисления производной.
- •Производные тригонометрических функций.
- •Производные обратных тригонометрических функций.
- •Производная сложной функции.
- •Производная обратной функции.
- •Логарифмическое дифференцирование. Производная степенной функции.
- •Дифференциал, его геометрический смысл, правила вычисления.
- •Геометрический смысл дифференциала.
- •Применение дифференциала.
- •Производные высших порядков. Производная высших порядков.
- •Механический смысл второй производной.
- •Уравнение касательной и нормали к кривой.
Геометрический смысл дифференциала.
И з треугольника: . ,
где ‒ геометрический смысл производной.
Дифференциал – это приращение ординаты касательной, проведенной к кривой в точке касания x0.
Правила нахождения дифференциала.
Применение дифференциала.
Приложение дифференциала к приближенным вычислениям.
Из рисунка видно, что приращение функции y и дифференциал dy связаны приближенным равенством y dy. Поэтому с помощью дифференциала можно вычислять значения функции , если известно x (приращение): .
Пример: Вычислить приближенно .
Введем функцию . Значение x=1,004, берем значение .
= =1, =1,004-1=0,004.
Вычислим дифференциал = = =0,002, = =1+0,002=1,002.
Производные высших порядков. Производная высших порядков.
Пусть функция имеет производную в каждой точке некоторого интервала. - также является функцией от x, следовательно, ее тоже можно продифференцировать. - производная второго порядка или вторая производная. - производная третьего порядка или третья производная и т.д. - производная n-порядка.
Обозначаются: y, y, y, yIV или y(1), y(2), y(3), y(4)...
Пример: , , , , , , .
Механический смысл второй производной.
Вторая производная есть ускорение a прямолинейного движения тела в данный момент времени, выражает зависимость пройденного пути от времени t, т.е. если , то .
Уравнение касательной и нормали к кривой.
И з пучка прямых, проходящих через точку , выберем одну прямую ‒ касательную к графику функции: . Из геометрического смысла производной угловой коэффициент касательной: .
.
– уравнение касательной.
Определение: Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная к касательной, проведенной в точке касания с абсциссой x0.
Так как нормаль перпендикулярна к касательной, то угловой коэффициент нормали: (из условия перпендикулярности прямых). Отсюда: – уравнение нормали.
Пример: Составить уравнение касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой равной 1.
Ордината точки касания:
Производная: .
Найдем значение производной в точке x0:
,
Уравнение касательной:
Уравнение нормали: .