4.5. Взаимная корреляционная функция и взаимная спектральная плотность двух стационарных случайных процессов

Два стационарных случайных процесса называются стационарно-связанными, если взаимная корреляционная функция является функцией разности своих аргументов:

На основании свойства взаимной корреляционной функции для стационарно связанных случайных процессов

Пусть - стационарные и стационарно-связанные случайные процессы, имеющие соответственно автокорреляционные функциии взаимную корреляционную функцию .

Рассмотрим вначале ССП на конечном интервале . Тогда взаимная корреляционная функция будет задана на интервале .

Разложим взаимную корреляционную функцию в комплексный ряд Фурье с периодом 2Т:

(4.35)

где

(4.36)

При рассмотрении случайных процессов на бесконечном интервале времени вводят функцию

(4.37)

где

(4.38)

С учетом соотношения (4.38) выражение (4.37) преобразуется к виду:

(4.39)

Принимая во внимание функцию (4.37), формулу (4.35) можно записать в виде:

(4.40)

Выражение (4.39) с учетом формулы (4.36) примет вид:

(4.41)

При предельном переходе формулы (4.40 ) и (4.41) преобразуются к виду:

(4.42)

(4.43)

Функцию называют взаимной спектральной плотностью стационарных и стационарно связанных случайных процессов .

Из формул (4.42) и (4.43) следует, что взаимная корреляционная функция и взаимная спектральная плотность стационарных и стационарно связанных случайных процессов являются преобразованиями Фурье друг друга.

В отличие от спектральной плотности одного случайного процесса, которая является действительной функцией частоты, взаимная спектральная плотность двух стационарно связанных процессов является обычно комплексной функцией частоты. Это связанно с тем, что функция не обязательно четная относительно .

Физический смысл взаимной спектральной плотности поясним на следующем примере. Пусть

Можно показать, что спектральная плотность случайного процесса определяется по формуле:

(4.44)

Анализ формулы (4.44) позволяет сделать следующие выводы. Если случайные процессы некоррелированны, то и спектр суммарного процесса равен сумме спектров составляющих и, с учетом соотношения (4.16), мощность процесса равна сумме мощностей процессов .

Если действительная часть взаимной спектральной плотности положительна, то

и, следовательно, корреляция между процессами приводит к возрастанию средней мощности процесса . Очевидно, что при отрицательной действительной части средняя мощность суммарного процесса уменьшается.

Методические указания

При изучении данного раздела необходимо обратить внимание на свойства автокорреляционной функции ССП. Уяснить , что интервал корреляции дает ориентировочное представление о том, на каком интервале времени в среднем имеет место коррелированность значений ССП.

При рассмотрении дискретного спектра ССП надо обратить внимание на физический смысл коэффициентов разложения автокорреляционной функции в ряд Фурье. Важно уяснить, что дисперсия ССП равна сумме дисперсий всех гармоник его спектрального разложения. Поскольку дисперсия ССП представляет собой среднюю мощность, то и для ССП остается в силе равенство Парсеваля.

При изучении непрерывного спектра ССП следует запомнить, что он дает усредненную картину распределения мощности процесса по частотам элементарных гармонических составляющих, однако не учитывает их фазовой структуры. Необходимо обратить внимание на соотношения Винера-Хинчина, представляющие собой пару взаимных преобразований Фурье для ССП. Следует различать между собой "математический" и "физический" спектры и запомнить, что "физический" спектр определен только для положительных частот.

При рассмотрении узкополосных ССП следует иметь в виду, что их часто используют в инженерных задачах как модели реальных сигналов. Реализации узкополосных ССП можно наблюдать на выходе схем радиоприемников, работающих на высоких и промежуточных частотах. Следует обратить внимание на то, как определяется автокорреляционная функция узкополосного ССП.

Необходимо запомнить, что белый шум - это математическая абстракция. В природе таких ССП не существует. Однако математическая модель белого шума часто используется как модель помехи, воздействующей на полезный узкополосный сигнал. Следует обратить внимание на условия, при которых белый шум может быть использован как модель помехи в технике радиосвязи.

Контрольные вопросы

1. Автокорреляционная функция ССП является четной или нечетной функцией?

2. Чему равно значение автокорреляционной функции ССП при ?

3. Как определяется интервал корреляции ССП?

4. Каков физический смысл дисперсии ССП, имеющего размерность тока или напряжения?

5. Как определяются дисперсии случайных коэффициентов разложения в ряд автокорреляционной функции процесса?

6. В чем смысл удвоения коэффициентов разложения автокорреляционной функции в тригонометрический ряд?

7. Чему равна дисперсия ССП?

8. Нарисуйте дискретный спектр ССП.

9. Как графически изображается непрерывный спектр ССП?

10. Какой физический смысл имеет непрерывный спектр ССП и какова его размерность?

11. Какими соотношениями связанны спектральная плотность и автокорреляционная функция ССП?

12. В чем различие между спектром детерминированного сигнала и энергетическим спектром ССП?

13. Перечислите основные свойства спектральной плотности.

14. Как связан энергетический спектр, определенный на положительных частотах, с энергетическим спектром, определенным на всей оси частот?

15. Как определяется ширина полосы энергетического спектра?

16. Какая связь существует между шириной полосы энергетического спектра и интервалом корреляции ССП?

17. Дайте определение узкополосного ССП.

18. Как определяется корреляционная функция узкополосного ССП?

19. Какой ССП называется белым шумом и каковы его основные характеристики?

20. Перечислите условия, при которых белый шум можно использовать как модель помехи в технике радиосвязи.

21. Какие два ССП называются стационарно связанными?

22. Какими соотношениями связаны взаимная спектральная плотность и взаимная корреляционная функция?

23. Поясните физический смысл взаимной спектральной плотности.

5.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

В ЛИНЕЙНЫХ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

5.1. Спектрально-корреляционные характеристики

случайного процесса на выходе линейной цепи

Обычно радиотехнические цепи разделяют на линейные и нелинейные. Задача анализа прохождения случайных сигналов через нелинейные цепи сложна и ее обычно рассматривают для безынерционных цепей.

В данном разделе будут рассмотрены линейные инерционные цепи. В этих цепях выполняется принцип суперпозиции для сигналов и поэтому значение процесса на выходе цепи зависит не только от значения случайного процесса на входе цепи в данный момент времени t, но и определяется суммой (суперпозицией) всех значений в предыдущие моменты времени, умноженных на импульсную характеристику цепи :

65