4.4. Узкополосные и широкополосные случайные процессы
Узкополосным называется ССП, энергетический
спектр которого сосредоточен в основном
в относительно узкой полосе частот
около некоторой фиксированной частоты
(рис. 4.12,а). Для узкополосного ССП
выполняется неравенство
(4.27)
Определим корреляционную функцию узкополосного ССП, спектральная плотность которого удовлетворяет условию (рис. 4.13):
(4.28)
Рис. 4.12. Энергетические
спектры ССП: а - узкополосный;
б - широкополосный
Рис. 4.13. Спектральная
плотность идеализированного
узкополосного
случайного процесса
Поскольку ССП предполагается узкополосным, то справедливо неравенство
Подставив спектральную плотность (4.28) в формулу (4.25), получим:
(4.29)
где
и
спектральная плотность и корреляционная
функция ССП, спектр которого смещен на
величину
в область низких частот (рис.4.14).
Рис. 4.14. Спектральная
плотность низкочастотного ССП
спектральная
плотность
удовлетворяет условию
Из выражения (4.29) следует, что корреляционная
функция узкополосного ССП, спектр
которого расположен симметрично около
высокой частоты
,
равна умноженной на
корреляционной функции
низкочастотного ССП, полученного из
исходного смещением спектра на величину
в область низких частот.
Если неравенство (4.27) не выполняется, то ССП является широкополосным (см. рис.4.12, б).
При решении многих задач статистической радиотехники важное значение имеет определенный тип ССП, называемый белым шумом.
Белым шумом называется ССП с постоянной спектральной плотностью
(4.30)
Происхождение термина "белый шум" объясняется аналогией такого процесса с белым светом, имеющим сплошной и приблизительно однородный спектр в пределах видимой его части.
Определим автокорреляционную функцию белого шума. Подставим спектральную плотность (4.30) в формулу (4.19), получим:
(4.31)
Покажем, что справедливо равенство
(4.32)
Действительно, прямое преобразование Фурье дельта-функции
на основании фильтрующего свойства
Следовательно, обратное преобразование Фурье
т.е. равенство (4.32) справедливо.
С учетом равенства (4.32) выражение (4.31) преобразуется к виду:
(4.33)
Таким образом, автокорреляционная функция белого шума с точностью до постоянного множителя представляет собой дельта-функцию.
На основании свойства дельта-функции из формулы (4.33) имеем:
Это означает, что сечения ССП типа белого шума являются некоррелированными случайными величинами с бесконечными дисперсиями:
.
(4.34)
Физический процесс типа белый шум практически осуществить невозможно, так как, во-первых, достаточно близкие значения ССП зависимы и, во-вторых, реальные процессы имеют конечную мощность, а для белого шума, как это следует из соотношения (4.34), мощность бесконечна.
Белый шум является удобной математической моделью. Например, в технике радиосвязи белый шум используют как модель помехи. При этом должны соблюдаться следующие условия:
1)
<<1,
где
- ширина полосы энергетического спектра
полезного сигнала;
-
ширина полосы энергетического спектра
помехи;
2) в полосе частот полезного сигнала спектральная плотность помехи практически постоянна, т.е.
Рис. 4.15. Графики спектральных плотностей
сигнала
и помехи
