2. Случайные величины и их статистические характеристики

2.1. Основные понятия

Под событием в теории вероятностей понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, нужно с каждым событием связать число, которое тем больше, чем более возможно событие. Это число называют вероятностью события. Вероятность события есть численная мера объективной возможности этого события.

Достоверное событие -- это событие, которое в результате опыта обязательно должно произойти его вероятность равна единице.

Невозможное событие -- это событие, которое в результате опыта не может произойти, его вероятность равна нулю.

Для событий характерны следующие три свойства:

события образуют полную группу событий, если в результате опыта обязательно должно произойти хотя бы одно из них;

события называются несовместными, если никакие два из них не могут произойти вместе;

события называются равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие.

События, обладающие всеми перечисленными свойствами, называются случаями. Примером случая является выпадение одной из шести граней при бросании игральной кости. Если опыт сводится к схеме случаев, то вероятность события А в данном опыте вычисляют по формуле:

, (2.1)

где m - число появлений события А, n - общее число случаев.

Существуют события, которые не являются случаями (например, отказ радиостанции через 1000 ч работы), и для которых формула (2.1) неприменима.

В то же время такие события обладают определенной степенью объективной возможности, которую также можно характеризовать численно. Если проведена серия из N опытов, то частотой события А в данной серии опытов называется отношение

, (2.2)

где m - число опытов, в которых появилось событие А.

Частоту события также называют статистической вероятностью. При большом числе опытов частоту события, определяемую по формуле (2.2), можно принять за приближенное значение вероятности события А, причем это допущение тем более достоверно, чем больше значение N.

Случайной называется такая величина, которая в результате опыта может принять то или иное заранее неизвестное значение. В зависимости от набора возможных значений различают дискретные и непрерывные случайные величины (соответственно - число вызовов, поступивших на телефонную станцию за сутки, и скорость самолета в момент достижения заданной высоты). Переход от случайного события А к случайной величине выполняется с помощью характеристики случайной величины, которая равна единице, если событие А происходит, и равно нулю, если событие А не происходит.

Рассмотрим дискретную случайную величину Х с возможными значениями x₁,..,x_n. Пусть в результате опыта происходит одно из полной группы несовместных событий X = x₁,.., X = x_n.

Обозначим вероятности этих событий P(X = x₁) = p₁,.., P(X = x_n) = p_n. Поскольку несовместные события образуют полную группу, то

. (2.3)

Эта суммарная вероятность некоторым образом распределена между отдельными значениями x_i.

Законом распределения случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Говорят, что случайная величина подчинена данному закону распределения.

Простейшей формой закона распределения является ряд распределения:

(2.4)

Графическое отображения ряда распределения называют многоугольником распределения, который изображен на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Многоугольник распределения

В данных формах закон распределения существует только для дискретных случайных величин. Для непрерывной случайной величины, которая имеет бесчисленное множество значений в некотором интервале изменения, ряд распределения составить невозможно. Универсальной характеристикой случайных величин является функция распределения.