2.4. Числовые характеристики случайных величин

Числовые характеристики случайных величин подразделяются на характеристики положения и моменты. Определим характеристики положения.

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, характеризуемую рядом распределения (2.4). Пусть производится N независимых опытов, в которых значение появилось раз, раз и т.д. Очевидно, что . Вычислим среднеарифметическое значение случайной величины:

(2.11)

В выражении (2.11) величина - это частота (2.2) события .

Обозначим , тогда

(2.12)

С ростом N частоты будут приближаться к вероятностям , при этом среднеарифметическое значение выражения (2.12) будет стремиться к значению, которое называют математическим ожиданием (матожиданием) случайной величины:

(2.13)

Для непрерывной случайной величины матожидание

(2.14)

Механической аналогией матожидания (2.14) является абсцисса центра тяжести некоторой единичной массы, непрерывно распределенной вдоль оси абсцисс с плотностью .

Модой случайной величины называют наиболее вероятное значение дискретной случайной величины и то значение непрерывной случайной величины, при котором ПРВ максимальна.

Медиана случайной величины - это такое значение , для которого . Геометрически медиана - это абсцисса точки, перпендикуляр в которой делит площадь под кривой распределения пополам.

Рассмотрим моменты случайной величины.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется сумма

(2.15)

- для дискретных случайных величин и интеграл

(2.16)

- для непрерывных величин. Из формул (2.13) и (2.14) видим, что матожидание случайной величины - это ее первый начальный момент.

Для моментов (2.15) и (2.16) можно также записать общее выражение:

, (2.17)

т.е. начальным моментом k-го порядка называется матожидание k-й степени соответствующей случайной величины.

Введем понятие центрированной случайной величины , под которой будем понимать отклонение случайной величины от матожидания. Матожидание такой величины равно нулю, так как

(2.18)

Моменты центрированной случайной величины называют центральными моментами. Эти моменты аналогичны моментам относительно центра тяжести в механике.

Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется матожидание k-й степени соответствующей центрированной случайной величины:

Для дискретных случайных величин

.

Для непрерывных величин

Для любой случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю (см. выражение(2.18)).

Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины:

(2.19)

и является матожиданием квадрата соответствующей центрированной величины.

Для дискретных случайных величин

;

для непрерывных величин

Дисперсия есть характеристика рассеяния значений случайной величины около матожидания и имеет размерность квадрата величины. Корень из дисперсии имеет размерность самой величины и называется среднеквадратическим отклонением (СКО).

Определим связь дисперсии (2.19) с соответствующим начальным моментом (2.17):

.

Аналогичные связи существуют для моментов более высоких порядков.

Рис. 2.6. Асимметричные кривые распределения

Третий центральный момент характеризует асимметрию кривой распределения (рис.2.6) и имеет размерность куба случайной величины. Безразмерный коэффициент называется коэффициентом асимметрии.

Рис. 2.7. Кривые распределения с разной островершинностью

Четвертый центральный момент характеризует островершинность распределения, а безразмерная величина называется эксцессом (рис. 2.7).

Эксцесс определяется относительно нормального закона распределения (см. ниже, п. 2.6), для которого .

17