4.3. Непрерывный спектр стационарного случайного процесса

Спектральное разложение ССП на конечном интервале времени (0,Т) позволяет получить спектр дисперсий в виде отдельных дискретных линий, разделенных равными промежутками (так называемый "линейчатый спектр"). При этом чем больший интервал времени будет рассматриваться, тем более полными будут сведения о ССП . Чтобы получить описание ССП, справедливое для любого момента времени, необходимо перейти к бесконечному интервалу времени . При частота первой гармоники , поэтому расстояния между частотами , на которых строится спектр, будут при неограниченно уменьшаться. При этом дискретный спектр будет приближаться к непрерывному, в котором каждому сколь угодно малому интервалу частот будет соответствовать элементарная дисперсия .

Изобразим непрерывный спектр графически. Для этого необходимо перестроить график дискретного спектра (рис. 4.6,б) следующим образом. По оси ординат надо откладывать не коэффициент (который безгранично уменьшается при ), а среднюю плотность дисперсии

(4.15)

где

На каждом частотном отрезке , как на основании, построим прямоугольник с площадью (рис. 4.7). В результате получается ступенчатая диаграмма, напоминающая гистограмму статистического распределения. Высота диаграммы на участке , прилежащем к точке , равна и представляет собой среднюю площадь дисперсии на этом участке. Суммарная площадь всей диаграммы равна дисперсии ССП.

Рис. 4.7. Ступенчатая диаграмма спектральной плотности стационарного случайного процесса

Рис. 4.8. Спектральная плотность стационарного случайного процесса

При отрезок и ступенчатая кривая будет неограниченно приближаться к плавной кривой (рис. 4.8). Эта кривая изображает плотность распределения дисперсий по частотам непрерывного спектра. Функция называется спектральной плотностью дисперсии, или, короче, спектральной плотностью ССП .

Площадь, ограниченная кривой , равна как и прежде дисперсии ССП :

(4.16)

Формула (4.16) представляет собой разложение дисперсии на сумму элементарных слагаемых , каждое из которых представляет собой дисперсию, приходящую на спектральные составляющие ССП, занимающие бесконечно малый интервал частот (рис. 4.8).

Спектральная плотность не является самостоятельной характеристикой ССП, она полностью определяется автокорреляционной функцией этого процесса.

Подобно тому, как ордината дискретного спектра выражается формулой (4.2) через корреляционную функцию , спектральная плотность также может быть выражена через корреляционную функцию, и наоборот.

Для вывода этих формул перейдем в выражении (4.1) от дисперсии к средней плотности дисперсии , вычисляемой по формуле (4.15):

(4.17)

Разделим выражение (4.2) на . Получим:

(4.18)

Посмотрим, во что превратится выражение (4.17) при . Очевидно, при этом ; дискретный аргумент переходит в непрерывно меняющийся аргумент ; сумма переходит в интеграл по переменной ; средняя плотность дисперсии стремится к спектральной плотности :

и предельное значение выражения (4.17) принимает вид:

(4.19)

Переходя к пределу при в формуле (4.18), получаем выражение спектральной плотности через корреляционную функцию:

(4.20)

Формулы (4.19) и (4.20) были получены независимо российским ученым А.Я. Хинчиным и американским ученым Н.Винером и поэтому называются формулами Винера-Хинчина.

По существу корреляционная функция и спектральная плотность являются преобразованиями Фурье друг друга. Зная корреляционную функцию, можно найти спектральную плотность, и наоборот. Спектральная плотность при исследовании ССП иногда является более удобной характеристикой, чем корреляционная функция.

Поясним физический смысл спектральной плотности. Если понимать под случайный (флуктуационный) ток или напряжение, то величина в формулах (4.19) и (4.20) будет иметь размерность энергии. В связи с этим спектральную плотность называют также энергетическим спектром ССП.

Различие между спектром детерминированного сигнала и энергетическим спектром ССП заключается в том, что последний представляет собой не точное частотное представление какого-либо сигнала, а усредненную характеристику частотных свойств целого ансамбля различающихся между собой возможных реализаций ССП. Этот факт, а также отсутствие в энергетическом спектре информации о фазах спектральных компонент не позволяют восстанавливать по нему реализацию исходного сигнала.

Приведем пример определения спектральной плотности ССП по заданной автокорреляционной функции.

Пример 4.1. Заданна автокорреляционная функция ССП

Требуется найти . Используя формулу (4.20) и учитывая, что при >0 и при <0,запишем:

На рис. 4.9 и 4.10 приведены графики и для этого примера.

Перечислим основные свойства спектральной плотности.

1. Спектральная плотность ССП - неотрицательная величина:

Рис. 4.10. График спектральной плотности

Рис. 4.9. График корреляционной функции

Доказательство этого свойства вытекает из того факта, что дисперсия ССП всегда положительна. Если предположить, что спектральная плотность в некотором диапазоне частот от до отрицательна, то случайный процесс, соответствующий этой части спектра (например, выделенный с помощью полосового фильтра), будет иметь на основании выражения (4.16) отрицательную дисперсию, что лишено смысла. Следовательно, спектральная плотность отрицательной быть не может.

2. Спектральная плотность ССП является четной и вещественной функцией частоты. Поскольку автокорреляционная функция есть четная функция аргумента, то

Учитывая четность спектральной плотности, а также используя формулы Эйлера, формулы (4.19) и (4.20) можно записать в тригонометрической форме:

(4.21)

(4.22)

Из выражений (4.21) и (4.22) видно, что автокорреляционная функция и спектральная плотность ССП связанны друг с другом взаимными косинус-преобразованиями Фурье. Поскольку автокорреляционная функция ССП есть вещественная функция аргумента, то из выражения (4.22), видно, что спектральная плотность является также вещественной функцией частоты.

3. Автокорреляционная функция и спектральная плотность ССП обладают всеми свойствами, характерными для пары взаимных преобразований Фурье. В частности, чем "шире" спектр , тем "уже" корреляционная функция , и наоборот.

Шириной полосы энергетического спектра ССП называют отношение значения площади под кривой энергетического спектра к максимуму спектральной плотности

где - максимум спектральной плотности ССП.

В частности, если , то выполняется равенство

(4.23)

Таким образом, зная интервал корреляции ССП, можно определить ширину полосы энергетического спектра. Равенство (4.23) носит название соотношения неопределенности.

В формулах (4.19) - (4.22) спектральная плотность определена для положительных и отрицательных значений круговой частоты, причем . В отличие от такого двустороннего "математического" спектра часто рассматривают односторонний "физический" спектр , отличающийся от нуля лишь при положительных частотах :

= . (4.24)

С учетом соотношения (4.24), формулы (4.21) и (4.22) преобразуются к виду:

(4.25)

. (4.26)

Рис. 4.11. Спектральные плотности и

Графики спектральных плотностей и для одного и того же ССП показаны на рис. 4.11. При расчетах следует учитывать, какая спектральная плотность введена в рассмотрение: или , чтобы использовать соответствующую формулу для .

Формулы (4.19) - (4.22) обычно используют при выполнении вычислений, так как интегралы в бесконечных пределах, как правило, находятся проще, чем интегралы хотя бы с одним конечным пределом. При физическом рассмотрении и проведении экспериментов следует оперировать формулами (4.25) и (4.26).