- •010500 Прикладная математика и информатика
- •Часть 1
- •Введение
- •Глава 1. Элементарная теория вероятностей
- •1.1. Предмет теории вероятностей. Случайный эксперимент
- •1.2. Пространство элементарных событий. Случайные события
- •1.3. Операции над случайными событиями
- •Свойства операций над событиями
- •1.4. Классическое определение вероятности
- •1.5. Геометрическое определение вероятности
- •1.6. Статистическое определение вероятности
- •1.7. Аксиоматическое определение вероятности
- •1.8. Условные вероятности
- •1.9. Зависимые и независимые события
- •1.10. Формулы полной вероятности и Байеса
- •1.11. Схема независимых испытаний Бернулли
1.10. Формулы полной вероятности и Байеса
Предположим, что с данным случайным экспериментом связана полная группа событий , вероятности которых известны. Нас интересует некоторое событие А, которое может наступить одновременно с одним из . При этом условные вероятности наступления события А при каждом известны. Требуется определить безусловную вероятность .
Представим событие А в виде:
.
В полученной сумме слагаемые являются попарно несовместными: , . Поэтому, используя аксиому аддитивности и правило умножения вероятностей, получаем:
.
Формула
называется формулой полной вероятности. В ней события называются гипотезами (так как одно из обязательно происходит), а вероятности - вероятностями гипотез.
Пусть, по-прежнему, со случайным экспериментом связано n гипотез , вероятности которых известны. Известно также, что гипотеза сообщает событию А вероятность . Предположим, что эксперимент был произведён, и в результате событие А произошло. Этот факт приводит к переоценке вероятностей гипотез . Количественно этот вопрос решает следующая формула:
.
Полученная формула называется формулой Байеса (или формулой гипотез). В ней называются априорными вероятностями гипотез (они определяются a priori – до проведения опыта). Условные вероятности называются апостериорными вероятностями гипотез (они вычисляются a posteriori – после проведения опыта, когда стало известно, что событие А произошло).
Пример. По каналу связи с помехами передаются двоичные символы {0,1}. Вероятности искажения символов в канале (0 1, 1 0) одинаковы и равны 0.2. Вероятность символа 0 на входе канала равна 0,9, а вероятность символа 1 - 0,1. На выходе канала принят сигнал, соответствующий 1. Определить вероятность того, что на вход канала подавалась также 1.
Решение.
Рассмотрим гипотезы
= {На входе канала связи символ 0},
= {На входе канала связи символ 1}.
Очевидно, и по условию , то есть события и образуют полную группу событий.
Пусть событие А = {На выходе канала принят символ 1}.
Тогда по условию задачи вероятность искажения символа 0 в канале суть условная вероятность , а условная вероятность является вероятностью неискажения в канале символа 1. В терминах введенных обозначений требуется найти условную (апостериорную) вероятность .
Найдем вначале по формуле полной вероятности безусловную вероятность события А:
.
Затем, в соответствии с формулой Байеса, находим апостериорную вероятность :
(при априорной вероятности ).
Очевидно, что при этом апостериорная вероятность
(при априорной вероятности ).
Замечание. Таким образом, даже при приеме на выходе канала связи 1 мы отдаем предпочтение в пользу 0 на входе. Это объясняется тем, что априорная вероятность 0 на входе канала существенно больше априорной вероятности 1.
1.11. Схема независимых испытаний Бернулли
Предположим, что некоторый эксперимент может повторяться при неизменных условиях сколько угодно раз, и эти повторения не зависят друг от друга. В этом случае говорят о проведении последовательности независимых испытаний. Независимость испытаний при этом следует понимать в том смысле, что любые события, которые могут произойти в результате, являются независимыми в совокупности.
Простейшей является последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможно только 2 исхода: успех – У (1) и неуспех – Н (0). Последовательность независимых испытаний с двумя исходами называется схемой независимых испытаний Бернулли.
Обозначим вероятность успеха , а вероятность неуспеха .
При проведении n независимых испытаний по схеме Бернулли пространство элементарных событий имеет вид:
,
а вероятности элементарных событий в силу независимости вычисляются по формуле:
,
то есть
.
В связи с рассмотрением схемы независимых испытаний Бернулли обычно представляют интерес события
={В n испытаниях наступило ровно m успехов} = = .
Обозначим вероятность и вычислим ее. Для любого вероятность , а общее количество исходов, содержащихся в , равно числу способов размещения m единиц в последовательности длины n из нулей и единиц, то есть . Таким образом,
.
Полученная формула называется формулой Бернулли. Она даёт выражение для вероятности наступления m успехов в n независимых испытаниях по схеме Бернулли с неизменной вероятностью успеха в одном испытании равной p и с вероятностью неуспеха равной q = 1 – p.
Поскольку события образуют полную группу событий, то . Тот же результат можно получить и на основании бинома Ньютона:
Исследуем поведение вероятностей в зависимости от m. Для этого вычислим отношение:
.
Отсюда следует, что вероятности возрастают, когда или, что эквивалентно, .
Вероятности убывают, когда или, что эквивалентно, .
И, наконец, , если .
Определение. Число успехов m = m0, при котором вероятности достигают максимума, называются наивероятнейшим числом успехов.
Из проведённых рассуждений следует, что наивероятнейшее число успехов m0 определяется из двойного неравенства:
.
При этом:
Если число нецелое, то существует одно наивероятнейшее число успехов: .
Если число целое, то существует два наивероятнейших числа успехов: и .
Если число целое, то .
Вычисления по формуле Бернулли при больших m и n весьма трудоёмкие. На практике в этом случае используют асимптотические приближения для вероятностей , основанные на предельных теоремах Пуассона и Муавра-Лапласа.
Пример.
Что более вероятно: выиграть у равносильного противника 3 партии из 4 или 5 из 8 (ничьи не считаются)?
Решение.
В данном примере речь идет о сравнении двух вероятностей и , когда . Поскольку , а , то , то есть выиграть 3 партии из 4 более вероятно.