- •010500 Прикладная математика и информатика
- •Часть 1
- •Введение
- •Глава 1. Элементарная теория вероятностей
- •1.1. Предмет теории вероятностей. Случайный эксперимент
- •1.2. Пространство элементарных событий. Случайные события
- •1.3. Операции над случайными событиями
- •Свойства операций над событиями
- •1.4. Классическое определение вероятности
- •1.5. Геометрическое определение вероятности
- •1.6. Статистическое определение вероятности
- •1.7. Аксиоматическое определение вероятности
- •1.8. Условные вероятности
- •1.9. Зависимые и независимые события
- •1.10. Формулы полной вероятности и Байеса
- •1.11. Схема независимых испытаний Бернулли
Свойства операций над событиями
Приступим теперь к введению понятия вероятности. Делать мы это будем постепенно, как бы повторяя исторический путь. Такой подход позволяет избежать формального восприятия и способствует развитию теоретико-вероятностной интуиции. Начнем с, так называемого, классического определения вероятности.
1.4. Классическое определение вероятности
На самом деле это не определение, а метод вычисления вероятностей событий во вполне определенных и сильно ограниченных условиях.
Говорят, что случайный эксперимент удовлетворяет классическому определению вероятности (или классической вероятностной схеме), если:
пространство элементарных событий состоит из конечного числа исходов
;
из соображений симметрии можно считать, что все элементарные исходы эксперимента являются равновозможными (т. е. ни один из исходов не имеет предпочтения перед другими).
Согласно классическому определению вероятности вероятность любого события , равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию , к общему числу исходов :
Свойства вероятности, непосредственно вытекающие из классического определения вероятности:
1°. для любого события А (доказательство очевидно).
2°. (доказательство очевидно).
3°. Если события и несовместны , то
.
▲ Пусть событию А благоприятствует исходов, а событию В - исходов. Поскольку события А и В являются несовместными (т.е. не имеют общих исходов), то сумме благоприятствует исходов. Поэтому
.■
Исходя из свойств 1 3 (и только!!!) вытекают также следующие свойства вероятности:
4°. .
▲ Поскольку события образуют полную группу событий ( ), то из свойств 2° и 3° .■
5°. .
▲ Следует из свойств 2° и 4°, поскольку события .■
6°. .
▲ Представим событие В в виде: . Поскольку события являются несовместными, то из свойств 1° и 3° имеем: .■
7°. .
▲ Следует из свойств 2°, 5° и 6°, так как (в частности, свойство 7° означает, что измерять вероятность в процентах некорректно).■
При решении задач с использованием классического определения вероятности, широко используются понятия комбинаторики. Напомним некоторые из них.
Размещением из N элементов некоторого множества по M элементов называется любой упорядоченный набор из M элементов данного множества. Число всех размещений равно .
Если в упорядоченном наборе элементы могут повторяться, то этот набор называется размещением с повторениями. Число размещений с повторениями: равно .
Перестановкой из N элементов некоторого множества называется размещение из N элементов по N. Число всех перестановок равно .
Сочетанием из N элементов некоторого множества по M элементов называется любое подмножество мощности M. Число всех сочетаний равно .
Пример 1.
Определить вероятность события А, заключающегося в том, что при бросании двух игральных костей, сумма очков не превысит 4.
Решение. В данном примере важно понимать, что если в качестве исхода эксперимента понимать значение суммы выпавших очков: или количество очков, выпавших на каждой из костей без учета порядка их следования: , то исходы не являются равновозможными и классическое определение вероятности не применимо. Верное решение в соответствии с классическим определением вероятности можно получить, если только под исходом понимать количество очков, выпавших на каждой из костей с учетом порядка их следования: . В этом случае , а . Поэтому .
Пример 2 (Урновая схема).
В урне находится N шаров, из которых M белые. Из урны наугад извлекается n шаров. Какова вероятность того, что среди выбранных шаров окажется ровно m белых.
Решение. Исходами в данном эксперименте являются любые подмножества, содержащие n шаров, и они являются равновозможными (за счет слова «наугад»). Число всех исходов равно числу сочетаний из n по N: . Каждый набор шаров, входящий в интересующее нас событие, состоит из m белых шаров, которые можно выбрать из M белых способами. Независимо от выбора белых шаров, небелые шары можно выбрать способами. Поэтому общее число благоприятных исходов равно . Из этого следует, что .