- •010500 Прикладная математика и информатика
- •Часть 1
- •Введение
- •Глава 1. Элементарная теория вероятностей
- •1.1. Предмет теории вероятностей. Случайный эксперимент
- •1.2. Пространство элементарных событий. Случайные события
- •1.3. Операции над случайными событиями
- •Свойства операций над событиями
- •1.4. Классическое определение вероятности
- •1.5. Геометрическое определение вероятности
- •1.6. Статистическое определение вероятности
- •1.7. Аксиоматическое определение вероятности
- •1.8. Условные вероятности
- •1.9. Зависимые и независимые события
- •1.10. Формулы полной вероятности и Байеса
- •1.11. Схема независимых испытаний Бернулли
1.8. Условные вероятности
На практике случайные события обычно взаимосвязаны. Информация о наступлении одного из событий может влиять на шансы наступления другого. Пусть - конечное пространство равновозможных исходов, А и В – некоторые события. Если о событии В ничего неизвестно, то согласно классическому определению вероятности:
.
Если же известно, что событие В уже произошло (т. е. наступил исход , но какой именно – неизвестно), то для определения вероятности события А следует выбрать новое пространство элементарных событий .
В этом случае событию А благоприятствуют исходы и новая вероятность, которую обозначим , равна:
.
Полученная вероятность называется условной вероятностью события А при условии, что событие В произошло и полученное для нее выражение в рамках классической схемы принимается за определение условной вероятности и в общем случае.
Определение. Пусть - произвольное вероятностное пространство, - некоторые случайные события, . Условной вероятностью события А при условии, что событие В произошло, называется величина
.
Для условной вероятности применяется также обозначение .
Условная вероятность , как функция события А при фиксированном событии В (условии), удовлетворяет аксиомам Р1) – Р3) и, следовательно, всем свойствам вероятности, вытекающим из аксиом:
(Действительно, ).
(Действительно, ,
поскольку события являются несовместными).
Аналогично вводится понятие условной вероятности события В при условии, что событие А произошло:
в предположении, что .
Если и , то из определения условных вероятностей и получаем следующее правило умножения вероятностей:
.
На случай любого конечного числа событий правило умножения вероятностей обобщается следующим образом.
Теорема (умножения вероятностей).
Пусть некоторые события, определенные на одном и том же вероятностном пространстве , для которых . Тогда
.
▲ В соответствии с правилом умножения вероятностей
. ■
Пример.
Партия из 100 деталей содержит 5 бракованных. Найти вероятность того, что среди отобранных 10 деталей не будет бракованных.
Решение. Рассмотрим события
;
.
Тогда и в соответствии с теоремой умножения вероятностей получаем:
.
Заметим, что тот же ответ получается и при использовании классического определения вероятности:
, и = 0,584 (см. пример Урновая схема).
1.9. Зависимые и независимые события
Зависимость событий понимается в вероятностном смысле, а не в функциональном. Это значит, что по появлению одного из зависимых событий нельзя однозначно судить о появлении другого. Вероятностная зависимость означает, что появление одного из зависимых событий только изменяет вероятность появления другого. Если вероятность при этом не изменяется, то события считаются независимыми.
Определение: Пусть - произвольное вероятностное пространство, - некоторые случайные события. Говорят, что событие А не зависит от события В, если его условная вероятность совпадает с безусловной вероятностью :
.
Если , то говорят, что событие А зависит от события В.
Понятие независимости симметрично, то есть, если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А. Действительно, пусть . Тогда . Поэтому говорят просто, что события А и В независимы.
Из правила умножения вероятностей вытекает следующее симметричное определение независимости событий.
Определение: События А и В, определенные на одном и том же вероятностном пространстве , называются независимыми, если
.
Если , то события А и В называются зависимыми.
Отметим, что данное определение справедливо и в случае, когда или .
Свойства независимых событий.
1. Если события А и В являются независимыми, то независимыми являются также следующие пары событий: .
▲ Докажем, например, независимость событий . Представим событие А в виде: . Поскольку события являются несовместными, то , а в силу независимости событий А и В получаем, что . Отсюда , что и означает независимость . ■
2. Если событие А не зависит от событий В1 и В2, которые являются несовместными ( ), то событие А не зависит и от суммы .
▲ Действительно, используя аксиому аддитивности вероятности и независимость события А от событий В1 и В2, имеем:
. ■
Связь между понятиями независимости и несовместности.
Пусть А и В любые события, имеющие ненулевую вероятность: , так что . Если при этом события А и В являются несовместными ( ), то и поэтому равенство не может иметь место никогда. Таким образом, несовместные события являются зависимыми.
Когда рассматривают более двух событий одновременно, то попарная их независимость недостаточно характеризует связь между событиями всей группы. В этом случае вводится понятие независимости в совокупности.
Определение: События , определенные на одном и том же вероятностном пространстве , называются независимыми в совокупности, если для любого 2 m n и любой комбинации индексов справедливо равенство:
.
При m = 2 из независимости в совокупности следует попарная независимость событий. Обратное неверно.
Пример. (Бернштейн С.Н.)
Случайный эксперимент заключается в подбрасывании правильного четырехгранника (тетраэдра). Наблюдается грань, выпавшая книзу. Грани тетраэдра окрашены следующим образом: 1 грань - белая, 2 грань - чёрная, 3 грань - красная, 4 грань - содержит все цвета.
Рассмотрим события:
А = {Выпадение белого цвета}; B = {Выпадение черного цвета};
C = {Выпадение красного цвета}.
Тогда ;
.
Следовательно, события А, В и С являются попарно независимыми.
Однако, .
Поэтому события А, В и С независимыми в совокупности не являются.
На практике, как правило, независимость событий не устанавливают, проверяя ее по определению, а наоборот: считают события независимыми из каких-либо внешних соображений или с учетом обстоятельств случайного эксперимента, и используют независимость для нахождения вероятностей произведения событий.
Теорема (умножения вероятностей для независимых событий).
Если события , определенные на одном и том же вероятностном пространстве , являются независимыми в совокупности, то вероятность их произведения равна произведению вероятностей:
.
▲ Доказательство теоремы следует из определения независимости событий в совокупности или из общей теоремы умножения вероятностей с учетом того, что при этом
.■
Пример 1 (типовой пример на нахождение условных вероятностей, понятие независимости, теорему сложения вероятностей).
Электрическая схема состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятности отказов каждого из элементов соответственно равны .
1 ) Найти вероятность отказа схемы.
2) Известно, что схема отказала.
Какова вероятность того, что при этом отказал:
а) 1-й элемент; б) 3-й элемент?
Решение. Рассмотрим события = {Отказал k-й элемент}, и событие А = {Отказала схема}. Тогда событие А представляется в виде:
.
1) Поскольку события и несовместными не являются, то аксиома аддитивности вероятности Р3) неприменима и для нахождения вероятности следует использовать общую теорему сложения вероятностей, в соответствии с которой
.
Используя далее независимость событий , , имеем
.
2) Если уже известно, что схема отказала, то для нахождения вероятности отказа при этом 1-го элемента необходимо определить условную вероятность . По определению условной вероятности и с учетом того, что , получаем:
.
Поскольку , то условная вероятность находится несколько иначе:
.
Пример 2.
Вероятность попадания в цель при каждом выстреле 0,9. Сколько надо сделать независимых выстрелов, чтобы поразить цель с вероятностью не менее, чем 0,9999?
Решение. Пусть n – число сделанных выстрелов, событие = {Попадание в цель при k-м выстреле}, , событие А = {Поражение цели}. Очевидно, что , но поскольку события , не являются попарно несовместными, то для нахождения вероятности следует использовать теорему сложения вероятностей в общем виде.
Удобнее перейти к противоположному событию и использовать свойство 1 независимых событий:
Разрешая полученное неравенство относительно n, получаем, что .