Распределение интенсивности в полосах интерферометра Фабри-Перо

Геометрическое рассмотрение, приведенное выше, дает лишь грубое представление о характере интерференционной картины и ничего не говорит о том, как сказывается на этой картине эффект взаимодействия большого числа многократно отраженных лучей. Взаимодействие большого числа многократно отраженных в интерферометре лучей аналогично взаимодействию большого числа лучей, полученных с помощью дифракционной. Как известно, условие , полученное для случая дифракции на двух щелях, определяет лишь положение максимумов в дифракционной картине и ничего не говорит о распределении в ней интенсивности света. Однако известно, что увеличение числа щелей (штрихов) дифракционной решетки приводит, во-первых, к увеличению интенсивности максимумов и, во-вторых, делает эти максимумы (линии) более узкими и более резкими. Увеличение резкости следует ожидать и при работе с интерферометром, только в этом случае необходимо помнить, что интенсивность двух последовательных пучков неодинакова (как у дифракционной решетки), а постепенно уменьшается с увеличением порядка отражения. Точная теория для распределения интенсивности света в интерференционной картине дает следующую формулу

, (10)

где I₀ – интенсивность, падающего на эталон света;

ε – коэффициент пропускания слоя;

r – коэффициент отражения слоя;

Δ – разность хода между соседними интерферирующими пучками.

Если поглощением в зеркальном слое можно пренебречь, то 1 – r = ε и тогда, с учетом Δ = mλ, интенсивность максимума

; (11)

не смотря на высокий коэффициент отражения. Интенсивность минимумов соотношение (10) определяет

Графическое рассмотрение интенсивности при различных коэффициентах отражения представлено на рис. 5. Отношение I_max и I_min дает контраст картин (К):

.

Рис.5 .

Используя соотношение (11), соотношение (10) можно представить в виде

; (12)

легко видеть, что для фиксированного φ, I_φ сильно зависит от величины , которая определяет резкость интерференционных полос. Фабри эту величину назвал "коэффициентом резкости" F. С учетом сказанного

. (12а)

Дисперсия и постоянная эталона Фабри – Перо. Всякий спектральный аппарат характеризуется величиной угловой (или линейной) дисперсии. Угловую дисперсию эталона легко найти дифференцированием соотношения (4) по λ:

. (13)

В области малых значений углов φ соотношение (13) принимает вид:

. (14)

Эта формула выражает тот замечательный факт, что угловая дисперсия эталона Фабри – Перо не зависит от расстояния между отражающими слоями и , таким образом, одинакова для всех эталонов.

Характеристикой эталона, существенно зависящей от расстояния между зеркальными слоями (t), является так называемая постоянная эталона Δλ. Эта величина показывает допустимое отличие длины волны некоторого излучения (λ + Δλ), чтобы его линия оставалась в промежутке между линиями двух соседних порядков излучения λ₀. Иными словами приращение Δφ, вызванное изменением длины волны на Δλ₀, должно быть не больше приращения Δφ, вызванного изменением порядка интерференции m на величину Δm = 1.

Используя соотношение (4), продифференцируем его один раз по m, а другой раз по λ, и потребуем, чтобы приращения dφ в обоих случаях были равны:

;

. Так как dm = Δm = 1, то λ = mΔλ или Δλ = λ/m. Учитывая, что при φ близких к 0 , а n_b=1, получим

. (15)

Соотношение (15) указывает на то, что постоянная эталона (иногда её называют "область дисперсии") обратно пропорциональна расстоянию между зеркальными поверхностями. Следует заметить, что при изменении расстояния между зеркальными поверхностями, хотя область дисперсии изменяется, дисперсия остается постоянной, то есть спектральная картина вблизи основной линии не претерпевает сжатия или растяжения, а только увеличиваются или уменьшаются её границы.

Разрешающая сила эталона Фабри – Перо. Согласно критерию Релея. Две линии разной интенсивности считаются разрешенными. Если минимум интенсивности суммарного контура линии составляет приблизительно 0,8 интенсивности каждого из двух равных суммарных максимумов.

Рис. 6 .

Из рис. 6, где дано распределение суммарной интенсивности двух разрешимых линий, легко видеть, что результирующая интенсивность максимума

,

где I_m – интенсивность линии в точке её максимума;

I_{(m + Δm)} – интенсивность той же линии в точке (m + Δm) (на крыле). Суммарная интенсивность седлообразной части равна удвоенной интенсивности линии в точке (m + Δm/2):

.

Используя соотношение (12) и учитывая, что Δ/λ определяет величину m (целочисленную или нецелочисленную), интенсивность I^*_max и I^*_min можно выразить

;

.

Учтем, что , и вследствие малости Δm (Δm<1), . Тогда

а согласно критерию Релея

Совместное решение трех последних уравнений дает

. (16)

По определению разрешающей силы . В точке наложения спектральных линий  и  (рис.6) разности хода равны, т.к.  = const , то есть , откуда

.

В этом случае разрешающая сила выразится

.

Вводя обозначение , разрешающую силу записывают в виде

. (17)

Полученное выражение для разрешающей силы эталона весьма сходно с формулой для разрешающей силы дифракционной решетки , где N – число щелей, а значит, и число интерферирующих лучей. По аналогии с этим случаем можно сказать, что N_эф есть эффективное число интерферирующих лучей, зависящее от коэффициента отражения зеркальных поверхностей пластин эталона. Наконец, заменив для центральной части картины , получим

, где (17а)

Таким образом, разрешающая сила интерферометра Фабри-Перо прямо пропорциональна толщине промежутка t между зеркальными поверхностями и зависит от их коэффициента отражения.

Экспериментальная часть. Описание установки

В использовании интерферометра Фабри-Перо для определения длины световой волны возможны два случая:

1) длина волны определяется по известному расстоянию между зеркальными поверхностями t эталона;

2) длина волны компоненты сложного излучения определяется по величине известной длины волны основной линии.

В обоих случаях эксперимент заключается в измерении диаметров колец интерференционной картины. Допустим, что измерены диаметры i.- го и k - го колец. Для них с учетом того, что n  1, и, будем считать, не меняющимся, соотношение (8а) запишется

, .

Вычитая одно равенство из другого, получим

. (18)

Очевидно, что для двух соседних колец ( )

,

или

(19)

Из этого следует, что величины , , , … представляет собой арифметическую прогрессию с общей разностью . Это простое соотношение и используется для определения длин волн. Имея набор значений квадратов измеренных диаметров, можно найти среднее значение и по формуле (19) определить длину волны неизвестного излучения

. (20)

В данной работе предлагается определить длину световой волны, излучаемой лазером типа ЛГ-78. Ниже приводится схема установки (рис. 7).

Световой пучок лазера 1, попадая на ослабитель-рассеиватель 2 (из молочного стекла), расходящимся конусом падает на эталон Фабри-Перо 3. За эталоном в светозащитном кожухе 5 установлен объектив 4. Интерференционная картина наблюдается с помощью окуляра 6, укрепленного на каретке отсчетного устройства микроскопа 7.

Ввиду малой расходимости светового пучка лазера и большой степени его когерентности, незначительные неоднородности ослабителя-рассеивателя приводят к неравномерному распределению света, падающего на эталон. Для устранения этого явления диск ослабителя-рассеивателя приводится во вращение с помощью маломощного электродвигателя 8. Для уменьшения доступа постороннему свету перед эталоном установлена ширма 9 с небольшим отверстием в центре. Эталон, объектив, окуляр и ширма имеют приспособление, необходимое для осуществления соответствующих перемещений при юстировке установки. Установка для определения длины волны лазерного излучения является уже отъюстированной, и дополнительные регулировки студентам запрещаются (о настройке окуляра будет сказано ниже).

Рис. 7 .

Измерения. Перед началом работы получите инструктаж о порядке запуска лазера ЛГ-78, а сам запуск проведите в обязательном присутствии лаборанта. Далее включите двигатель ослабителя-рассеивателя и ознакомьтесь с интерференционной картиной. При этом в поле зрения окуляра должна наблюдаться система тонких, четких концентрических колец и вертикальная визирная линейка. При необходимости наводка окуляра на резкость осуществляется вращением его за накатанную часть. Проверка точности наводки окуляра на резкость осуществляется следующим образом. Визирную линию располагают вблизи некоторого интерференционного кольца. Если при небольших боковых перемещениях глаза изображение визирной линии и кольца не смещаются друг относительно друга, то качество наводки на резкость можно считать удовлетворительным.

Далее приступают к измерениям. С помощью барабана отсчетного механизма визир перемещают за 9-е кольцо справа от центра. Затем, перемещая визир справа налево, устанавливают его последовательно (как можно точнее) на 9-е, 8-е и т.д. до 0-го кольца и одновременно производят отсчеты по шкале целых миллиметров, а на барабане десятых и сотых долей. Продолжая движение визира справа налево, делают те же измерения положения колец, но теперь уже слева от центра, т.е. от 0-го до 9-го.

Указанные выше измерения производят не менее 3-х раз и данные заносят в таблицу, пример которой приведен в конце описания.