Виходячи з означення операцій над множинами, довести рівність
.Довести, що тричлен
при будь-якому цілому n
не поділяється на 49.Середнє геометричне двох чисел на 12 більше меншого з цих чисел, а середнє арифметичне тих самих чисел на 24 менше більшого з цих чисел. Знайти ці числа.
Шестицифрове число починається зліва цифрою 1. якщо цю цифру перенести з першого місця на останнє, зберігаючи порядок решти п’яти цифр, то одержане число буде утричі більше за початкове. Знайти вихідне число.
Довести, що для будь-якого натурального n правильна рівність
.Знайти суму .
Обчислити .
Сума двох чисел 54, причому одне з них на 20 % менше другого. Знайти більше число.
У процесі випарювання з 8 кг розсолу отримали 2 кг харчової солі, що містить 10 % води. Який відсоток вмісту води у розсолі?
Спростити
.У трикутнику один з кутів дорівнює 120, а сторони утворюють арифметичну прогресію. Знайти відношення сторін.
Дано дві геометричні прогресії, що мають однакову кількість членів. Перший член і знаменник першої прогресії дорівнюють відповідно 20 і
,а
другої – відповідно 4 і
.
Якщо перемножити члени цих прогресій
з однаковими номерами, то сума всіх
таких добутків дорівнюватиме 158,75.
знайти число членів цих прогресій.Скільки різних чисел, що поділяються на 8, можна скласти з цифр 0, 1, 2, 4, 5, 7, якщо кожна цифра входить до позначення кожного числа тільки один раз?
Знайти середній член розкладу
.При якому значенні k многочлен
можна записати у вигляді повного квадрата?
Розкласти многочлен
на множники над полем дійсних чисел.
Спростити вираз
і результат обчислити при x=
.
Розкласти дріб
на елементарні дроби.
Спростити вираз
.
Спростити вираз
+
.
Варіант № 6
Зобразити за допомогою кругів Ейлера множину
.Знайти всі натуральні числа n, для яких число
поділяється на (n+1).Знайти двоцифрове число, якщо число його одиниць на 2 перевищує число десятків, а добуток шуканого числа на суму його цифр дорівнює 144.
Якщо двоцифрове число розділити на добуток його цифр, то у частці вийде 1, а в остачі 16. Якщо ж до квадрату різниці цифр цього числа додати добуток його цифр, то одержимо задане число. Знайти це число.
Доведіть, що для будь-якого натурального n правильна рівність:
.Знайти суму .
Обчислити .
Ціна на товар була знижена на 20 %. На скільки відсотків її треба підвищити, щоб одержати початкову ціну?
На скільки відсотків збільшиться площа прямокутника, якщо його ширину збільшити на 20 %, а довжину – на 30 %?
Спростити вираз: .
Сума членів арифметичної прогресії і її перший член додатні. Якщо збільшити різницю цієї прогресії на 3, не змінюючи першого члена, то сума її членів збільшиться удвічі. Якщо ж перший член вихідної прогресії збільшити у чотири рази, не змінюючи її різниці, то сума членів збільшиться також удвічі. Знайти різницю вихідної прогресії.
Знайти суму семи перших членів нескінченної геометричної прогресії, знаменник якої
<1,
якщо її другий член дорівнює 4, а
відношення суми квадратів членів до
суми членів дорівнює 16/3.Розв’язати рівняння
.Знайти раціональні члени такого розкладу
.При яких значеннях a і b тричлен 16
є повним квадратом, коли відомо, що
?
Розкласти на множники вираз
.
Спростити вираз
Подати неправильний дріб у вигляді суми многочлена і елементарних дробів
.
Спростити вираз
.
Спростити вираз
.
Варіант № 7
Зобразити за допомогою кругів Ейлера множину
.
Довести, що сума кубів трьох послідовних натуральних чисел поділяється на 3.
Знайти двоцифрове число, частка від ділення якого на добуток його цифр рівний
,
а крім того, різниця між шуканим числом
і числом, записаним тими самими цифрами,
але у зворотному порядку, дорівнює 18.Знайти три числа, з яких друге більше першого на стільки, на скільки третє більше другого, якщо відомо, що добуток двох менших чисел дорівнює 85, а добуток двох більший рівний 115.
Довести, що для будь-якого натурального n правильна рівність:
.Довести, що для будь-якого натурального n
.Обчислити
.Завод збільшував обсяг продукції щорічно на одне і те саме число відсотків. Знайти це число, якщо відомо, що за два роки обсяг продукції, що випускає завод, збільшився на 21%.
Товар А до переоцінення коштував в 1,4 рази більше, ніж товар В. Ціна товару А була зменшена на 15 %, а товару В – на 30 %. У скільки разів ціна товару А більша за ціну товару В?
Спростити
.Знайти число членів арифметичної прогресії, у якої відношення суми перших 23 членів до суми останніх 23 членів рівне 2/5, а відношення суми усіх членів без перших семи до суми усіх членів без останніх семи рівне 10/7.
Сума перших п’яти членів геометричної прогресії рівна 62. Відомо, що п’ятий, восьмий і одинадцятий член цієї прогресії є відповідно першим, другим і десятим членами арифметичної прогресії. Знайти перший член геометричної прогресії.
У сьомому класі вивчається 14 предметів. Скількома способами можна скласти розклад занять на суботу, якщо у цей день тижня повинно бути 5 різних уроків?
Знайти розклад бінома
При якому цілому p многочлени
та
мають спільний корінь. Знайти його.
Розкласти многочлен
на
множники над полем дійсних чисел.Спростити вираз
.
Подати неправильний дріб у вигляді суми многочлена і елементарних дробів
.
Спростити вираз
, b
Спростити вираз
.
Варіант № 8