9.4.Средние характеристики ряда динамики.

Средние характеристики ряда динамики охватывают изменение явления за весь период, к которому относится ряд динамики. К средним характеристикам относятся: средний уровень ряда, средний абсолютный прирост, средний темп роста и средний темп прироста.

Средний уровень ряда ( ) показывает, какова средняя величина уровня характерная для всего периода ряда. Средний уровень ряда исчисляется

по-разному для интервальных и моментных рядов.

Для интервального ряда с равным интервалом, он определяется по средней арифметической простой, делением суммы уровней ряда на число периодов.

, где - сумма уровней ряда, n - число периодов.

Для интервального ряда с неравным интервалом средний уровень ряда определяется по формуле средней арифметической взвешенной , где t_i - величина интервала.

Для моментного ряда с равным интервалом средний уровень ряда определяется по формуле средней хронологической .

Для моментного ряда с неравным интервалом средний уровень ряда можно определить по формуле средней скользящей взвешенной: .

В различных источниках эту среднюю называют по-разному: средняя арифметическая взвешенная моментного ряда, средняя хронологическая взвешенная, средняя скользящая взвешенная.

Средний абсолютный прирост характеризует скорость развития явления во времени. Его можно определить как среднюю величину из цепных абсолютных приростов , где m - число цепных абсолютных приростов. Либо по данным уровней ряда , т.к. сумма цепных абсолютных приростов всегда равна базисному абсолютному приросту. Средний темп роста дает сводную характеристику интенсивности изменения явления за весь период ряда динамики. Он может быть определен по формуле средней геометрической на основании данных о цепных коэффициентах роста.

, где m - число темпов роста. Либо на основании данных об уровнях ряда

, т.к. произведение цепных коэффициентов роста всегда равно базисному коэффициенту роста. Эта формула ценна тем, что позволяет определить средний темп роста при отсутствии нескольких или всех промежуточных данных.

Средний темп прироста определяется на основании данных о среднем темпе роста как разность: .

9.5.Выявление основной тенденции динамических рядов.

Одним из методов анализа и обобщения динамических рядов является выявление его основной тенденции - трэнда. В статистической практике выявление основной тенденции развития осуществляют двумя способами: сглаживания и аналитического выравнивания.

Сглаживание - это механическое выравнивание отдельных членов ряда динамики с использованием фактических значений соседних уровней;

выравнивание аналитическое - это выравнивание с применением кривой, проведенной между конкретными фактическими уровнями таким образом, чтобы она отражала тенденцию, присущую ряду, освобождая его от незначительных колебаний.

Сглаживание может осуществляться методом укрупнения интервала, т.е., например, ряд суточного выпуска продукции заменить рядом ежемесячного выпуска продукции. Таким образом, сглаживаются суточные колебания выпуска. Сглаживание методом простой скользящей средней, заключается в том, что вычисляется средний уровень из трех, пяти, семи и т.д. уровней. Таким образом, вместо каждого уровня ряда берутся средние из окружающих его уровней с обеих сторон. В этой средней сглаживаются случайные отклонения. Она будет скользящей, поскольку период осреднения все время меняется. Из него вычитается один предыдущий и прибавляется один следующий. Например, скользящая средняя из 3-х уровней будет , и т.д. Средняя скользящая относится в этом случае ко 2-му, 3-му, 4-му и т.д. периоду. Если скользящая средняя находится по четному число членов, то для отнесения ее к конкретному периоду необходимо произвести центрирование, т.е. найти среднюю из двух смежных скользящих средних. Недостаток метода простой скользящей средней в том, что сглаженный ряд динамики сокращается (укорачивается) для начала и конца.

Аналитическое выравнивание предполагает представление уровней данного ряда динамики в виде функции времени: y=f(t).

В практике экономических исследований применяется аналитическое выравнивание по любому рациональному многочлену.

Правильно установить тип кривой, тип аналитической зависимости от времени - является одной из трудных задач статистики. К этому следует подходить с большой осторожностью. Аналитическое выравнивание состоит в подборе для данного ряда динамики теоретической кривой, наилучшим образом описывающей эмпирические данные. Это могут быть различные функции: полиномы степени, экспоненты, логистические кривые и другие виды.

Полиномы имеют следующий вид:

полином первой степени (прямая);

полином второй степени (парабола 2-го порядка);

полином n-ой степени .

параметры полиномов, t –условное обозначение времени. Параметр а₀ трактуется как характеристика средних условий ряда динамики, параметры как изменения ускорения.

Наиболее приближенный и простой способ определения формы теоретической кривой – графический.

После выбора вида уравнения необходимо определить параметры уравнения. Самый распространенный способ определения параметров уравнения - это метод наименьших квадратов.

Система нормальных уравнений для оценивания параметров прямой

примет вид:{

В статистической практике применяется упрощенный расчет параметров уравнения, который заключается в переносе начала отсчета времени в середину ряда динамики. Тогда и система нормальных уравнений упрощается для прямой {

Аналогично для параболы второго порядка система нормальных уравнений будет { , а после упрощения

{ , т.к. суммы всех нечетных степеней t будут равны нулю.

Решив системы относительно неизвестных параметров, получим величины параметров соответствующих уравнений. Подставляя вместо t значения времени, получим теоретические значения , которые будут отражать тенденцию.