Дисперсия альтернативного признака

σ_p²=

Подставив в формулу дисперсии q = 1 - р, получим

σ_p²=

Таким образом, σ_p² = pq — дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих признаком, на долю единиц, не обладающих данным признаком.

Среднее квадратическое отклонение (σ) равно корню квадратному из дисперсии. Простое среднее квадратическое отклонение:

σ =

взвешенное

σ =

Среднее квадратическое отклонение — это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности; оно показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения; является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому экономически хорошо интерпретируется.

Среднее квадратическое отклонение альтернативного признака

σ_p =

В статистической практике часто возникает необходимость сравнения вариаций различных признаков. Например, большой интерес представляет сравнение вариаций возраста рабочих и их квалификации, стажа работы и размера заработной платы, себестоимости и прибыли, стажа работы и производительности труда и т.д. Для подобных сопоставлений показатели абсолютной колеблемости признаков непригодны: нельзя сравнивать колеблемость стажа работы, выраженного в годах, с вариацией заработной платы, выраженной в рублях.

Для осуществления такого рода сравнений, а также сравнений колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с различной средней арифметической используют относительные показатели вариации

Относительные показатели вариации определяются как отношение абсолютных показателей вариации к средней арифметической.

Это коэффициент осцилляции, определяемый как отношение размаха вариации к средней арифметической величине в процентах .

Линейный коэффициент вариации определяется аналогично, но по среднему линейному отклонению .

Наиболее распространенными из них являются коэффициент вариации.

Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

Относительные показатели вариации характеризуют степень колеблемости признака внутри средней величины. По величине, например, коэффициента вариации можно определить степень однородности изучаемой совокупности. Совокупность считается достаточно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%. Для оценки качества, устойчивости средней величины установлены пределы. Самыми лучшими значениями коэффициента вариации являются ; допустимыми считаются значения до 50%.

6.3. Свойства дисперсии и упрощенные методы ее расчета.

Техника вычисления дисперсии по формулам достаточно сложна, а при больших значениях вариантов и частот может быть громоздкой. Расчет можно упростить, используя свойства дисперсии (доказываемые в математической статистике):

Первое свойство — если все значения признака уменьшить на одну и ту же постоянную величину А, то дисперсия от этого не изменится;

σ²_(х-А)=σ_х²

Второе свойство— если все значения признака уменьшить в одно и то же число i раз, то дисперсия соответственно уменьшится в i² раз.

σ²_(х/i)=σ_x²:i²

Третье свойство (свойство минимальности) - средний квадрат отклонений

от любой величины А (отличной от средней арифметической) больше

дисперсии признака на квадрат разности между средней арифметической и величиной А

σ _A²=σ_x²+(x-A)²

Используя свойства дисперсии, получим следующую упрощенную формулу вычисления дисперсии в вариационных рядах с равными интервалами по способу моментов:

σ²= ∙ (

- момент второго порядка

- квадрат момента первого порядка

Н а основании последнего свойства дисперсии упрщенная формула дисперсии для любого ряда (дискретного, интервального с равным и неравным интервалами) формула дисперсии примет вид:

6.4. Виды дисперсий.

Вариация признака обусловлена различными факторами, некоторые из этих факторов можно выделить, если статистическую совокупность разбить на группы по какому-либо признаку. Тогда, наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом, становится возможным изучить вариацию для каждой из составляющих ее группы, а также и между этими группами. В простейшем случае, когда совокупность расчленена на группы по одному фактору, изучение вариации достигается посредством исчисления и анализа трех видов дисперсий: общей, межгрупповой и внутригрупповой.

Общая дисперсия σ² измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака х от общей средней и может быть вычислена как простая дисперсия или взвешенная дисперсия.

Межгрупповая дисперсия δ² характеризует систематическую вариацию результативного порядка, обусловленную влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений групповых (частных) средних , от общей средней

и может быть исчислена как простая дисперсия или как взвешенная дисперсия по формулам, соответственно:

Межгрупповая дисперсия отражает вариацию признака, положенного в основу группировки.

Внутригрупповая (частная) дисперсия (в каждой группе) σ_i², отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, обусловленную влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы х от средней арифметической этой группы , (групповой средней) и может быть исчислена как простая дисперсия или как взвешенная дисперсия по формулам, соответственно:

На основании внутригрупповых дисперсий по каждой группе, т.е. на основании σ_i² можно определить среднюю из внутригрупповых дисперсий:

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:

Пользуясь правилом сложения дисперсий, можно всегда по двум известным дисперсиям определить третью - неизвестную, а также судить о силе влияния группировочного признака.

Долю вариации группировочного признака в совокупности характеризует эмпирический коэффициент детерминации .