11.2. Позиционные системы счисления
Система счисления - способ наименования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения.
В зависимости от способа изображения чисел системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. В позиционной системе счисления количественное значение каждой цифры зависит от ее места (позиции) в числе. Например, для десятичной системы счисления
523 = 5 * 102 + 2 * 101+ 3 * 100
В непозиционной системе счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе. Например, для римской системы счисления
XXVIII=10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1
Римская система счисления имеет отклонения от непозиционной системы, т.к. в числах LX и XL символ Х принимает два значения: +10 и - 10.
Двоичная система счисления является позиционной, имеет основание 2 и использует для представления информации всего две цифры 0 и 1.
11.3. Методы перевода чисел
Существуют правила перевода чисел из одной системы счисления в другую. Схема перевода числа из системы счисления с основанием P в десятичную
Для перевода целой части числа из десятичной системы счисления в систему с основанием Р число делится на Р и записываются остатки в обратном порядке. При переводе дробной части числа из десятичной системы счисления в систему с основанием Р дробные части умножаются на основание Р и записывается целые части произведения.
Перевод целых чисел из двоичной систему в 8-ричную и 16-ричную и обратно очень прост. Двоичное число разбивается на триады (по 3 знака) или тетрады (по 4 знака), и каждая группа кодируется отдельно.
11.4. Форматы представления чисел с плавающей запятой
Информация в памяти записывается в виде цифрового двоичного кода в ячейки памяти одинаковой длины и регистры.
Число с плавающей запятой изображается в виде двух групп цифр: мантиссы и порядка.
11.5. Двоичная арифметика
Таблица результатов сложения, вычитания и умножения двоичных чисел
Сложение |
Вычитание |
Умножение |
0 + 0 = 0 |
0 - 0 = 0 |
0 х 0 = 0 |
0 + 1 = 1 |
1 - 0 = 1 |
0 х 1 = 0 |
1 + 0 = 1 |
1 - 1 = 0 |
1 х 0 = 0 |
1 + 1 = 10 |
10 - 1 = 1 |
1 х 1 = 1 |
Среди логических функций наибольшее распространение получили инверсия (отрицание, NOT, НЕ), конъюнкция (AND или логическое умножение) и дизъюнкция (OR или логическое сложение) (табл.1.3)
Таблица - Таблица результатов логических операций над двоичными числами
x |
y |
НЕ x (NOT) |
x И y (AND) |
x ИЛИ y (OR) |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
Лекция 17
11.6. Коды: прямой, обратный, дополнительный, модифицированный
11.7. Выполнение арифметических операций с числами с фиксированной и плавающей запятой
11.8. Информационные основы контроля работы цифровых автоматов
11.9. Систематические коды
11.10. Контроль по четности, нечетности, по Хеммингу
11.6. Коды: прямой, обратный, дополнительный, модифицированный
Прямой код – двоичный код, в котором старший разряд отводится под знак.
Обратный код – инвертируется прямой код (без учета разряда).
Дополнительный код – инвертируется прямой код и добавляется 1.
11.7. Выполнение арифметических операций с числами с фиксированной и плавающей запятой
1)
2)
Числа -10 и -7 записываются в обратном коде.
3)
Число -3 в обратном коде, к результату прибавляется единица переноса.
4)
Числа -3 и -7 в обратном коде, к результату прибавляется единица переноса, результат – обратный код числа -10.
11.8. Информационные основы контроля работы цифровых автоматов
Для контроля за выполнением арифметических операций в процессоре содержатся два индикатора: индикатор переноса (из знакового бита) и индикатор переполнения (перенос в знаковый бит).
11.9. Систематические коды
Смещенный код или код с избытком. Выбирается длина разрядной сетки. Кодовая комбинация с 1 в старшем разряде выбирается для представления 0. Все старшие комбинации – 1, 2, 3, …, а младшие – это -1, -2, -3 и т.д.
Код Грея. Соседние кодовый слова различаются в одном разряде.
11.10. Контроль по четности, нечетности, по Хеммингу
В качестве простейшего способа повышения достоверности передачи информации может использоваться контроль на четность. Суть этого способа заключается в следующем. На входе в канал связи производится подсчет числа «1» в двоичной кодовой последовательности — входном сообщении. Если число «1» оказывается нечетным, в хвост передаваемого сообщения добавляется «1», а если нет, то «0». На принимающем конце канала связи производят аналогичный подсчет, и если контрольная сумма оказывается нечетной, то делается вывод о том, что при передаче произошло искажение информации, в противном случае принятая информация признается правильной (неискаженной).
Принцип кода Хемминга заключается в том, что к каждому хранимому или передаваемому M-разрядному слову добавляют K битов с соответствующим их расположением среди битов M-разрядного слова. Подобные N-разрядные коды (N=M+K) исправляют все одиночные ошибки.