Метод разделения переменных

3. Методом разделения переменных решить задачу о свободных колебаниях струны с жестко закрепленными концами, если до момента t=0 все ее точки были неподвижны, а начальные отклонения описывались функцией:

Построить энергетический спектр колебаний для гармоник с n=1,2,3,4,5.

3. Методом разделения переменных решить задачу о свободных колебаниях струны с жестко закрепленными концами, если в момент струна проходила через положение равновесия таким образом, что распределение скоростей различных ее точек описывались функцией:

Построить энергетический спектр колебаний для гармоник с n=1,2,3,4,5.

3. Вертикально подвешенный упругий стержень длины lрастянут под действием собственного веса и неподвижен. В момент времени t=0 он отрывается от подвеса и начинает свободное падение. Решить задачу о возникающих при этом продольных колебаний стержня.

4. Под действием внешних сил, приложенных к торцам горизонтального стержня длины l, его длина сократилась на величину . В момент времени действие внешних сил мгновенно прекратилось. Найти функцию, описывающую продольные колебания стержня с незакрепленными торцами.

5. Методом разделения переменных решить задачу о свободных колебаниях круглой мембраны радиуса с жестко закрепленными краями и начальными условиями вида

,

, .

13. Методом разделения переменных решить задачу о свободных колебаниях мембраны, имеющей форму прямоугольника со сторонами A, B с жестко закрепленными краями и начальными условиями вида:

,

.

13. При движении прямоугольной мембраны с жестко закрепленными краями возникают силы вязкого трения, плотность которых пропорциональна первой степени скорости. Найти значение коэффициента вязкого трения , при котором мембрана, будучи отклоненной, первоначально по закону с нулевой начальной скоростью, возвратится в положение равновесия за наиболее короткое время.

14. Найти собственные частоты и собственные функции акустического резонатора, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда со сторонами A, B и С.

Метод распространяющихся волн

16. Неограниченная струна возбуждена локальным начальным отклонением, имеющим вид параболы на отрезке и тождественно равна нулю вне этого отрезка. Начертить форму струны для моментов времени

17. Неограниченной струне в положении равновесия сообщены начальные скорости, распределение которых на отрезке имеет вид полуволны и тождественно равно нулю вне этого отрезка. Начертить форму струны для моментов времени , где k=0,1,2,3,4,5 с – скорость распространения волн.

18. В момент времени t=0 неограниченная струна возбуждена начальным отклонением U(x), имеющим вид двух равнобедренных треугольников с высотами h₁ и h₂ и основаниями, лежащими, соответственно на отрезках [a₁;b₁] и [a₂;b₂]. В какой точке x и в какой момент времени t>0 отклонение струны будет максимальным? Какова величина этого отклонения?

19. Неограниченной струне в положении равновесия сообщены начальные скорости, распределение которых на отрезке [-a;a] имеет вид волны V(x)=sin( x/a) и тождественно равно нулю вне этого отрезка. Начертить форму струны для моментов времени t_k=ka/4c, где k = 0,1,2,3,4; c - скорость распространения волн.