ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

ПО КУРСУ «МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ»

УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

Общие свойства

1. Исходя из теоремы Остроградского-Гаусса, вывести первое тождество Грина для двух дважды непрерывно дифференцируемых скалярных функций (P) и (P).

2. Исходя из теоремы Остроградского-Гаусса, вывести второе тождество Грина для двух дважды непрерывно дифференцируемых скалярных функций (P) и (P).

3. Используя представление оператора Лапласа в соответствующей системе координат, проверить на гармоничность следующие функции, оределить особые точки, если они существуют

₁(x,y,z) = x²+y²-z² ₁(r,,z) = r²-z²

₂(x,y,z) = x²-y²+2z ₂(r,,z) = r²²-z²

₃(x,y,z) = [x²+y²+z²]^1/2 ₃(r,,z) = cos/r

₁(r,,) = rcos

₂(r,,) = r sin

₃(r,,) = 1 / r

4. Предполагая зависимость только от одной из координат, найти простейшие решения уравнения Лапласа в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат. Дать примеры физической реализации каждого из них.

5. Определить, какие из представленных функций являются гармоническими на плоскости (в 2‑мерном пространстве): rⁿcos(n), rⁿsin(n), r^‑ncos(n), r^‑nsin(n), rⁿch(n), rⁿcos(m) при nm. Указать особые точки для каждой из них, если они существуют.

6. Определить, какие из возможных произведений вида u(x,y)=(kx)(ky) удовлетворяют двумерному уравнению Лапласа, если

(kx) ‑ одна из функций : cos(kx), sin(kx), ch(kx), sh(kx);

(ky) ‑ одна из функций : cos(ky), sin(ky), ch(ky), sh(ky);

Рассмотреть все возможные варианты и результаты оформить в виде таблицы 44. Возможно ли обобщение выявленной закономерности на другие (кроме тригонометрических и гиперболических) виды функций ?

7. Показать, что полином вида: u(x,y) = A(x²-y²)+Bxy+Cx+Dy+E удовлетворяет двумерному уравнению Лапласа (являются гармоническими на плоскости) при любых значениях констант A,B,C,D,E. Как построить полиномиальную гармоническую функцию более высокой степени от x и y ?

8. Исходя из фундаментальной формулы Грина. доказать теорему "о среднем значении на сфере" для произвольной гармонической функции (P) в трехмерном пространстве.

9. Исходя из фундаментальной формулы Грина. доказать теорему "о среднем значении в шаре" для произвольной гармонической функции (P) в трехмерном пространстве.

10. Исходя из фундаментальной формулы Грина. доказать теорему "о среднем значении на окружности" для произвольной гармонической функции (P) в двухмерном пространстве.

11. Исходя из фундаментальной формулы Грина. доказать теорему "о среднем значении в круге" для произвольной гармонической функции (P) в двухмерном пространстве.

12. Вычислить среднее значение гармонической функции A(x²-y²)+Bxy+Cx +Dy+E на периметре произвольного прямоугольника и сравнить со значением этой функции в центре того же прямоугольника. Будет ли в данном случае выполняться теорема "о среднем"?

13. Незаряженная проводящая сфера вносится в электростатическое поле точечного заряда и располагается так, что расстояние между зарядом и центром сферы равно x. Определить установившееся значение электрического потенциала на поверхности сферы. Какое значение потенциала установится на сфере если предварительно на ее поверхности был распределен заряд q ? Какой заряд будет индуцирован на сфере если ее заземлить ?

14. Стационарное распределение температуры на поверхности шара описывается функцией: u(,) = T₀ + T₁ cos + T₂ sin , где , - сферические координаты. Считая шар однородным телом без источников тепла, найти температуру в его центре.

15. Известно,что Земля за год выделяет около 8∙10²⁰ Дж тепла. Согласно одной из гипотез, это тепло образуется за счет распада радиоактивных веществ, приблизительно равномерно распределенных по всему объему Земли. По существующим оценам температура в центре Земли составляет около 2500ºС, а теплопроводность земных пород в среднем равна 3 Вт/м²град. Находится ли описанная выше гипотеза в согласии с приведенными данными? [Решить уравнение Пуассона, используя граничные условия T(R)≈0 на поверхности Земли, и вычислить Т(0) ]

Постановка краевых задач

16. Воздушный конденсатор, состоящий из двух концентрических сфер радиусов R₁ и R₂, заряжен до напряжения U, внешняя обкладка заземлена. Между обкладками на расстоянии R от центра вносится точечный заряд q_o. Поставить краевую задачу для распределения потенциала между обкладками конденсатора до и после внесения заряда. Определить установившееся после внесения заряда значение потенциала на внутренней обкладке и величину заряда на внешней обкладке.

17. Твердое тело, ограниченное поверхностью S, движется с постоянной скоростью в неограниченном пространстве, заполненном идеальной (невязкой и несжимаемой) жидкостью. Поставить краевую задачу для определения поля скоростей движения жидкости.

18. Найти стационарное распределение температуры внутри бесконечной однородной стенки толщины h, если она разделяет две среды с постоянными значениями температуры Т₁ и Т₂.

Метод Грина

19. Методом электростатических отображений (ЭО) построить функцию Грина I рода для двугранного угла, образованого плоскостями, пересекающимися под углом /n, где n - натуральное число. Определить количество необходимых электростатических изображений точечного заряда в общем случае.

20. Методом ЭО построить ф. Грина I рода для плоской области, расположенной между двумя горизонтальными прямыми, проходящими через точки (0,‑h) и (0,h).

21. Методом ЭО построить функцию Грина I рода для полупространства z>0, вычислить ее нормальные производные на границе области и записать в квадратурах общее решение задачи Дирихле для полупространства.

22. Методом ЭО построить функцию Грина I рода для полуплоскости x>0, вычислить ее нормальные производные на границе области и записать в квадратурах (в виде одномерного интеграла) общее решение задачи Дирихле для полуплоскости.

23. Методом ЭО построить функцию Грина I рода для шара r<R, вычислить ее нормальные производные на границе и записать в квадратурах (в виде двойного интеграла по углам  и ) общее решение задачи Дирихле для шара. Рассмотреть аналогичную задачу для внешности шара r>R.

24. Методом ЭО построить функцию Грина I рода для круга r<R, вычислить ее нормальные производные на границе и записать в квадратурах (в виде интеграла по углу ) общее решение задачи Дирихле для круга. Рассмотреть аналогичную задачу для внешности круга.

Метод разделения переменных

25. Определив скалярное произведение двух функций (x) и (x) как интеграл от их произведения по отрезку [0,L], проверить на ортогональность системы функций {cos(nx)}, n,, и {sin(nx)}, n=1,,, а также их объединение {1; cos(nx); sin(nx)}, n=1,, на отрезках L= и L=2.

26. Методом разделения переменных решить задачу о распределении гармонического потенциала на полуплоскости y>0, если вдоль оси x распределение потенциала задано в форме меандра с амплитудой U и периодом L.

27. Бесконечный однородный цилиндр имеет в сечении форму прямоугольника со сторонами А и В. Одной боковой гранью цилиндр лежит на основании, температура которого Т₁=const, а остальные три грани находятся в тепловом равновесии с окружающей средой, температура которой Т₂=const. Используя первые два члена разложения решения в ряд, оценить температуру в центре сечения цилиндра.

28. Найти решение а) внутренней и б) внешней краевых задач для уравнения Лапласа, если на границе круга радиуса R заданы условия: 1) u(R,a) = A sin; 2) u/n(R,a) = A sin2 + B.

29. Найти решение задачи Дирихле внутри и вне круга радиуса R, если на границе этого круга искомая функция задана и равна f, где: 1) f = A; 2) f = Acos(); 3) f = A + By; 4) f = Axy; 5) f = A + Bsin(); 6) f = Asin²()+ Bcos²(), A,B ‑ заданные константы.

30. Найти решение задачи Неймана внутри и вне круга радиуса R, если на границе круга нормальная производная функции задана и равна g, где: 1) g = A; 2) g=Acos(); 3) g=A(x²‑y²); 4) g=Ay; 5) g=A+Bsin(); 6) g=Asin()+Bcos(3), A,B ‑ заданные константы.

31. В однородное электростатическое поле E₀, заданное в неограниченном пространстве с диэлектрической проницаемостью ₁ внесен однородный цилиндр радиуса R, ось которого перпендикулярна полю, а диэлектрическая проницаемость равна ₂ . Найти распределение результирующего электрического поля и его скалярного потенциала во всем пространстве.

32. В однородное стационарное магнитное поле H₀, заданное в неограниченном пространстве с магнитной проницаемостью ₁ внесен однородный цилиндр радиуса R, ось которого перпендикулярна полю, а магнитная проницаемость равна ₂ . Найти распределение результирующего магнитного поля во всем пространстве.

33. Поставить и решить задачу об обтекании неподвижного бесконечного цилиндра, если на бесконечности скорость равномерного потока жидкости равна V₀.

34. Однородный цилиндр радиуса R и высоты H одним из своих оснований приведен в контакт с термостатом, температура которого T₁=const, температура второго основания и боковой поверхности цилиндра совпадает с температурой окружающей среды T₂=const. Найти установившееся температурное поле внутри цилиндра.

35. Исходя из формулы Родрига P_n(x) = (1/2ⁿn!)dⁿ/dxⁿ(x²-1)ⁿ, определить полиномы Лежандра степеней n=0,1,2,3.

36. Пользуясь рекуррентной формулой (n+1)P_n+1(x)=(2n+1)xP_n(x) - nP_n-1(x), определить полиномы Лежандра степеней n = 3,4,5.

37. Найти коэффициенты разложения функции Acos(2)+B на отрезке 0<< по полиномам Лежандра P_n(cos).

38. Найти нулевой, первый и второй коэффициенты разложения в ряд по полиномам Лежандра функции 1/(x²+1) на отрезке -1<x<1. Сравнить графики исходной функции и аппроксимирующего ее ряда, состоящего из трех указанных членов. (Использовать нормировку P_n(x) ² = 2/(2n+1).)

39. В однородное магнитостатическое поле H₁, заданное в неограниченном пространстве с магнитной проницаемостью ₁, внесен однородный шар радиуса R, выполненный из магнетика с магнитной проницаемостью ₂ . Найти распределение результирующего магнитного поля во всем пространстве.

40. В однородное электростатическое поле Е₁, заданное в неограниченном пространстве с диэлектрической проницаемостью ₁ внесен однородный шар радиуса R, выполненный из диэлектрика с проницаемостью ₂ . Найти распределение результирующего электрического поля во всем пространстве.