Метод интегральных уравнений

41. В произвольное электростатическое поле E₀, заданное в вакууме, внесена проводящая сфера радиуса R, предварительно заряженная зарядом q. Методом интегральных уравнений найти распределение плотности зарядов на поверхности сферы и результирующее поле во всем пространстве.

42. В плоскопараллельное магнитостатическое поле H₀, заданное в неограниченной среде с магнитной проницаемостью ₁, внесен бесконечно длинный цилиндр радиуса R, магнитная проницаемость которого ₂. Ось цилиндра перпендикулярна полю. Методом интегральных уравнений найти распределение поверхностных магнитных зарядов на поверхности цилиндра и результирующее поле во всем пространстве.

43. Используя потенциал двойного слоя, решить методом интегральных уравнений краевую задачу Дирихле для полупространства z>0. Сравнить полученное в квадратурах решение с решением этой же задачи по методу Грина.

Уравнения параболического типа Постановка задач

1. Поставить краевую задачу об определении температуры стержня 0<x<h с теплоизолированной боковой поверхностью, если его начальная температура является произвольной функцией x. Рассмотреть случаи:

1. на торцах стержня поддерживаются заданные температурные режимы;

2. через торцы стержня извне подаются заданные тепловые потоки;

3. торцы стержня теплоизолированы;

4. на торцах стержня происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой задана;

5. торцы стержня излучают тепловую энергию по закону Стефана-Больцмана.

2. Вывести уравнение и поставить краевую задачу для распределения концентрации радиоактивного газа в некотором объеме, если скорость его распада пропорциональна концентрации, на границе поддерживается нулевая концентрация, а в начальный момент газ был распределен равномерно по объему.

3. Вывести уравнение, описывающее распределение по объему размножающихся частиц, например, нейтронов в U²³⁵ или частиц вируса в биологической среде, если каждая из частиц порождает себе подобную в среднем через один и тот же промежуток времени. Поставить краевую задачу о распределении концентрации частиц в некотором объеме, если первоначально они были распределены равномерно, а на поверхности объема поддерживается нулевая концентрация либо поверхность является непроницаемой для частиц.

Краевые задачи для ограниченных областей

декартова система координат

4. Найти распределение концентрации вещества внутри цилиндра определенной высоты с непроницаемой боковой поверхностью, если в начальный момент вещество внутри цилиндра было распределено равномерно, а в последующие моменты происходит его утечка через торцы таким образом, что на основаниях цилиндра концентрация вещества обращается в нуль.

5. Найти распределение концентрации вещества, проникающего в бесконечную однородную стенку определенной толщины в результате диффузии, если в начальный момент времени указанное вещество в стенке отсутствовало, а концентрация вещества с обеих сторон стенки поддерживается постоянной.

6. Найти распределение температуры в стержне определенной длины с теплоизолированной боковой поверхностью, если в начальный момент времени он был равномерно нагрет до температуры Т₁ , а на обоих торцах стержня поддерживается температура T₂.

7. Найти распределение температуры внутри бесконечной однородной стенки определенной толщины, если в начальный момент времени она была равномерно нагрета до температуры Т₀ , а температура на одной и другой ее поверхностях остается постоянной и равной, соответственно, Т₁ и Т₂.

8. Найти распределение температуры в стержне длины h с теплоизолированной боковой поверхностью, если температура его торцов поддерживается равной нулю, а начальное распределение температуры описывалось функцией f(x)=3sin(x/h)+2sin(3x/h), где x – координата, отсчитываемая вдоль оси стержня.

сферическая система координат

9. Равномерно нагретый до температуры Т₀ шар радиуса R в момент времени t=0 погружается в среду с нулевой температурой. Считая материальные характеристики всех сред заданными, и температуру окружающей среды неизменной, найти распределение температуры в шаре в последующие моменты времени.

10. Однородный шар радиуса R, имеющий нулевую температуру, в момент времени t=0 погружается в среду с постоянной температурой Т₀. Считая материальные характеристики всех сред заданными, найти распределение температуры в шаре в последующие моменты времени.

цилиндрическая система координат

11. Методом разделения переменных решить задачу об остывании бесконечного кругового цилиндра радиуса R, помещенного в идеально проводящую среду с нулевой температурой, если первоначально температура цилиндра равнялась Т₀. [БСТ№27(V)]

три системы координат

12. Первоначально равномерно распределенные по объему частицы размножаются со скоростью, пропорциональной их концентрации. Определить минимальные геометрические размеры, при которых возможно возникновение цепной реакции размножения :

1. в бесконечной плоской стенке определенной толщины ;

2. в бесконечном цилиндре радиуса R;

3. в шаре радиуса R.

Рассмотреть случаи однородных нулевых граничных условий первого и второго рода.