Задачи для неограниченных областей

к определению функции Грина

12. Выразить интеграл I= , где a,b,c,p,q - произвольные константы, через известную специальную функцию - "интеграл ошибок" erf(z)= . Найти предельное значение интеграла I при интегрировании по всей числовой оси от - до +. При каких значениях константы a он будет сходиться ?

декартова система координат

12. В нулевой момент времени одномерное распределение температуры Т(x,0) , определенное на всей числовой оси -<x< было отлично от нуля только на отрезке [-h;h] , где оно оставалось постоянным и равным Т₀. Выразить распределение температуры в последующие моменты времени через "интеграл ошибок", предполагая, что источники тепла во всем пространстве отсутствуют.

13. Найти решение задачи Коши для однородного одномерного уравнения теплопроводности, если начальное распределение температуры описывалось функцией T(x,0)=T₀ sign(x), -<x<.

14. В цилиндре бесконечной длины с непроницаемой боковой поверхностью концентрация некоторого вещества в начальный момент t=0 была распределена таким образом, что при x<0 она равнялась постоянной величине с₁, а при x>0 - постоянной величине с₂ , где x - координата, отсчитываемая вдоль оси цилиндра. Найти функцию, описывающую перераспределение вещества в последующие моменты времени в результате диффузии. Как изменится решение на правой полуоси, если в левой половине цилиндра концентрация будет поддерживаться постоянной и равной с₁ ?

Метод отображений для полуограниченных областей

декартова система координат

12. Найти функцию, описывающую остывание полубесконечного стержня 0<x< с теплоизолированной боковой поверхностью, если он был равномерно нагрет до температуры Т₀, а в некоторый момент времени t=t_o его торец x=0 приведен в контакт с термостатом, сохраняющим нулевую температуру.

13. В момент времени t=t₀ торец полубесконечного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью приведен в контакт с термостатом, имеющим температуру Т₀. Считая температуру стержня до момента контакта нулевой, определить как будет нагреваться стержень в последующие моменты времени.

сферическая система координат

12. Используя функцию Грина для уравнения теплопроводности на бесконечной прямой, решить задачу о диффузии газового облака радиуса R в неограниченном пространстве, если в начальный момент концентрация газа внутри облака была постоянной, а вне его равнялась нулю. Как определить момент времени t₀, в который концентрация газа на расстоянии R₀ от центра облака (R₀>R) будет достигать максимума ?

Ответ:

u(r,t)={[exp(-p²)-exp(-q²)]+2[erf(q)‑efr(p)]}U_o√(σt)/2r ,

где p=(r+R)/ √(4σt) , q=(r‑R)/ √(4σt)

12. На поверхности Земли расположен полусферический источник радиоактивного вещества (саркофаг), с единицы поверхности которого за единицу времени в окружающее пространство выделяется одно и то же количество вещества. Считая, что выделяющееся вещество распространяется в воздухе по законам диффузии, а поверхность Земли является плоской и непроницаемой для вещества, найти распределение вещества в окружающем пространстве в различные моменты времени, начиная с t=0, при котором началось выделение вещества.