Сравнение метода Грина и метода разделения переменных

12. Решить задачу об остывании равномерно нагретого слоя в среде с нулевой температурой методом отражений с помощью функции Грина для бесконечной прямой. Сравнить образующийся ряд с рядом, полученным для этой же задачи методом разделения переменных (задача №4). Оценить скорость сходимости каждого из рядов при t<<h²/ и t>>h²/, где  - коэффициент температуропроводности пространства, h - толщина слоя. [БСТ №103 (III)]

Метод комплексных амплитуд

12. Вдоль бесконечного однородного проводящего ферромагнитного слоя толщины h проходит переменный магнитный поток, плотность которого, усредненная по всему сечению слоя, изменяется по закону B₀ cos(t). Найти распределение индукции B(x) и плотности вихревых токов j(x) по толщине слоя в квазистационарном приближении при заданных значениях B₀ , , h, магнитной проницаемости  и удельной проводимости .

13. Методом комплексных амплитуд решить задачу о распространении температурных волн в полупространстве при периодических изменениях температуры на границе. Считая поверхность Земли плоской и принимая амплитуду годовых колебаний температуры на поверхности Земли за 20С, суточных - за 5С, определить соответствующие амплитуды колебаний температуры на глубине 1м. Коэффициент температуропроводности почвы принять равным 0.4 мм²/с. Определить также глубину, на которой наблюдается запаздывание колебаний по фазе на полпериода.

Телеграфные уравнения

12. Вывести уравнение, описывающее распространение вдоль длинной двухпроводной линии переменного напряжения и тока при заданных распределенных параметрах на единицу длины: погонном сопротивлении R₀, индуктивности L₀, емкости С₀ и проводимости утечки G₀.

13. В длинной двухпроводной линии с пренебрежимо малой утечкой и индуктивностью на единицу длины в момент t=0 в точках с координатами x₁ и x₂ произошло короткое замыкание между проводами. Найти распределение напряжений и токов на отрезке [x₁;x₂] в последующие моменты времени, если до момента замыкания напряжение на этом участке было постоянным.

14. Методом комплексных амплитуд решить задачу о распространении синусоидального напряжения в установившемся режиме вдоль длинной линии при заданных погонных параметрах R₀,L₀,C₀ и G₀. Найти соотношение между параметрами линии, при котором отсутствуют фазо-частотная и амплитудно-частотная дисперсии сигналов.

КЛАССИФИКАЦИЯ И ПРИВЕДЕНИЕ

К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

Уравнений в частных производных

2–ОГО ПОРЯДКА

1. Найти характеристические переменные и привести к каноническому виду следующие уравнения в частных производных:

1. 

2. 

3. 

4. 

УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Постановка задач и общие свойства

волнового уравнения

1. Вывести уравнение малых поперечных колебаний струны в среде с вязким трением, сила которого пропорциональна первой степени скорости. Записать общую постановку краевой задачи первого рода. Необходимые физические параметры системы считать заданными.

2. Исходя из второго закона Ньютона, дать математическую запись граничных условий для следующих способов закрепления концов струны длины l:

   1. концы струны жестко закреплены и неподвижны;

   2. концы струны свободно перемещаются в поперечном направлении;

   3. концы струны перемещаются в поперечном направлении по заданному закону;

   4. концы струны в поперечном направлении испытывают упругую реакцию;

   5. к концам струны прикреплены сосредоточенные массы и ;

   6. к концам струны приложены заданные поперечные силы;

   7. концы струны при движении их в поперечном направлении испытывают вязкое трение, сила которого пропорциональна первой степени скорости.

3. Вычислить полную механическую энергию свободных колебаний струны длины l, отклонение которой от положения равновесия описывается функцией .

Найти также значение , при котором указанная функция удовлетворяет одномерному волновому уравнению , где и – заданные величины.

3. Поставить краевую задачу о малых поперечных колебаниях тяжелой ненатянутой струны (цепочки) относительно вертикального положения равновесия, если ее верхний конец жестко закреплен , а нижний свободно перемещается как в продольном так и в поперечном направлениях.

4. Исходя из закона Гука в дифференциальной форме и второго закона Ньютона, вывести уравнение малых продольных колебаний упругого стержня. Считая, что модуль упругости стали Па, объемная плотность , вычислить скорость распространения волн (звука) в этом материале.

5. Верхний конец стержня длины l жестко прикреплен верхним краем к потолку свободно падающего лифта, который, достигнув скорости , мгновенно останавливается. Считая необходимые физические параметры материала заданными, поставить краевую задачу о возникающих при этом продольных колебаниях стержня.

6. Подобрать функцию, описывающую свободные колебания струны l жестко закрепленными концами и начальными условиями вида:

Все материальные параметры, а также величины считать заданными