• Виды ударов

Все удары делятся на два типа: упругие и неупругие. Упругими называются удары, при которых сохраняется механическая энергия системы соударяющихся тел. Механической энергией называется сумма кинетической и потенциальной энергии. Последняя является энергией положения или взаимного расположения тел. Однако в процессе удара, как указывалось, положение соударяющихся тел не успевает измениться. Значит, при любом ударе потенциальная энергия автоматически сохраняется, и имеет смысл вести речь только о сохранении кинетической энергии.

Неупругими называются удары, при которых не сохраняется механическая энергия системы соударяющихся тел. Опыт показывает, что при любых неупругих ударах механическая энергия уменьшается. Уменьшение или сброс  это разность между тем, что было, и тем, что стало. Сброс механической энергии при ударе называется теплом Q:

.

• Абсолютно неупругий удар

Среди множества неупругих ударов выделяется один, при котором происходит слияние соударяющихся тел. Такой удар называется абсолютно неупругим.

Барон Мюнхгаузен для совершения очередного подвига выпрыгнул из небоскрёба. Падая вертикально, он набрал скорость ₁=10 м/с. Навстречу барону был произведён выстрел ядром, которое при встрече с ним имело скорость ₂=100 м/с, направленную вертикально вверх. Определить скорость барона после того, как он оседлает ядро, если его масса m₁=100 кг, а масса ядра m₂=10 кг.

Эта очень простая задача дана исключительно для того, чтобы «почувствовать», что такое абсолютно неупругий удар. Ведь понятно, что за шутливым условием прячется именно он. Прежде всего, мы должны изобразить те механические состояния, которые должны описывать любой удар: непосредственно до и сразу после удара.

В соответствие с тем, что было сказано в параграфе, мы не обращаем внимания на силу тяжести, и нам совершенно безразлично, куда она направлена: вдоль или поперёк движения тел.

Основной закон задачи:

.

В результате подстановки в закон сохранения импульса получаем векторное равенство:

.

Из рисунка видно, что все векторы, входящие в это равенство, направлены по вертикали. В этой ситуации лучший способ перехода от векторного соотношения к скалярному  проецирование на вертикальную ось. Направим ось у, например, вверх. Тогда в результате проецирования:

,

где проекции векторов, направления которых известны, даны в скалярной арифметической записи (через модули с явными знаками), а проекция скорости  в алгебраической. Короче, мы имеем уравнение с одной неизвестной u_y, которую легко находим:

.

Таким образом, в результате слияния с ядром барон на мгновение остановится относительно Земли.

Процесс обратный абсолютно неупругому удару называется взрывом. Т.е. взрыв  это очень кратковременный процесс разделения массы. К нему приложимо все, что говорилось по поводу ударов.

Из решения последней задачи видно, что в случае абсолютно неупругого удара двух тел при известном механическом состоянии до удара мы имеем только один неизвестный вектор: скорость тел после удара. Поэтому нам достаточно только одного векторного уравнения, для того чтобы найти неизвестное. Требуемое уравнение получается из закона сохранения импульса при ударе. То же самое можно сказать и о взрыве. Однако не всегда это векторное уравнение нужно переводить в скалярное через проецирование.

Каскадёр массой m₁=80 кг на санках массой m₂=100 кг вначале скользит по гладкому горизонтальному льду со скоростью =10 м/с, а затем совершает горизонтальный прыжок под углом =60 по отношению к направлению своей первоначальной скорости. Скорость прыжка относительно льда u₁=15 м/с. Определить вектор скорости санок после прыжка .

Здесь сразу нужно правильно выбрать точку зрения на требуемые механические состояния системы «каскадёр-санки». Если рисовать «вид сбоку», когда поверхность льда видна горизонтальной прямой, то угла  видно не будет, и рисунок будет неинформативным. Поэтому нужно делать «вид сверху», так чтобы горизонтальная поверхность льда совпадала с поверхностью рисунка.

Понятно, что речь идёт о взрыве общей массы с разлётом двух «осколков» и . Следовательно, можем записать закон сохранения импульса системы и :

и, подставив выражения для импульса системы в первом и во втором состоянии, получить векторное уравнение:

.

Вот здесь не нужно спешить проводить оси для проецирования, а нужно последовать правилу: любое векторное соотношение должно быть представлено в виде векторной диаграммы. Если предыдущий рисунок можно назвать «рисунком-условием», то новый мы назовём «рисунком-решением».

Как Вы понимаете, мы сложили импульсы тел после взрыва по правилу треугольника, поэтому на рисунке у нас получилась геометрическая фигура: треугольник с известным углом. Чтобы совсем перейти на язык геометрии, давайте нарисуем тот же треугольник, но только без векторов: его сторонами будут отрезки, равные модулям векторов. Из последнего рисунка хорошо видно, что известный угол  в треугольнике позволяет записать теорему косинусов по отношению к нему:

.

Это псевдоквадратное уравнение, которое легко решается:

Если бы мы действовали методом проекций, то тоже, наверное, получили бы этот результат, но только совсем не так быстро.

Кстати, задача ещё не решена. У нас спрашивали вектор , а пока найдена только его величина. Направление мы будем определять относительно первоначального направления движения. Т.е. нам нужно найти угол . Для этого к нашему треугольнику применим теорему синусов:

или

А вот ещё одна простенькая задачка, которая, тем не менее, может вызвать у Вас удивление:

Снаряд массой m₁ = 50 кг, летящий вдоль рельсов со скоростью ₁ = 600 м/с, попадает в платформу с песком массой m₂ = 10 тонн и застревает в песке. Вектор скорости снаряда в момент попадания образует угол  = 45 с горизонтом. Определить u  скорость платформы после попадания в неё снаряда, если платформа двигалась навстречу снаряду со скоростью ₂ = 10 м/с.

Что у нас происходит в задаче? Правильно, абсолютно неупругий удар. Аккуратно рисуем, что положено: состояние «непосредственно до» и «сразу после». Итак, «рисунок-условие»:

Может быть не очень понятно как это: вдоль рельсов и при этом не горизонтально? Очень просто: траектория снаряда лежит в вертикальной плоскости (поверхность рисунка), проходящей через горизонталь железной дороги.

Что дальше? Ну да, конечно: закон сохранения импульса при ударе, . Отсюда, понятно,

.

Теперь «рисунок-решение»:

Стоп! Ведь направление на двух рисунках разное! По горизонтальным рельсам платформа может двигаться только горизонтально, следовательно, неправильное направление - на втором рисунке. Но ведь мы всё делали правильно!? Выходит, неправильно.

Нельзя здесь применять закон сохранения импульса. Вы думаете, что происходит соударение двух тел? Нет, трёх: снаряда, платформы и твердого полотна железной дороги. А если мы хотим рассматривать только два первых тела, то у этой системы существует внешняя сила, для которой их взаимодействие – не удар. Это сила со стороны поверхности рельсов, и она за время попадания снаряда в платформу существенно изменяет импульс интересующей нас системы. А если нельзя использовать закон сохранения импульса, то нужно обратиться к более общему закону: изменения импульса системы. Итак,

.

В качестве внешней силы может выступать только сила со стороны рельсов (для силы тяжести это удар, недаром мы нарисовали оба состояния с неизменным положением). Что у нас говорилось по поводу поверхности рельсов? Ничего. Значит, считается, что она гладкая. Так всегда в школьных задачах: по умолчанию сила трения считается равной 0. А со стороны гладкой поверхности может действовать только сила реакции опоры (п.1.2.6), которая направлена перпендикулярно поверхности, т.е. вертикально. Тогда

.

Спроецируем это равенство на горизонтальную ось х, указанную на рисунке:

,

Следовательно,

Оказывается, сохраняется не полный импульс, а только его горизонтальная составляющая, и не потому, что удар, а потому, что в горизонтальном направлении система замкнута.