3) Тригонометрическая форма комплексного числа, формула Муавра
4) Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа
Корнем n-й степени из комплексного числа называется такое комплексное число, n-я степень которого равна подкоренному числу. Таким образом, равенство:
равносильно равенству
rn(cos ny + i sin ny) = r (cos j + i sin j)
Но у равных комплексных чисел модули должны быть равны, и аргументы могут отличаться лишь кратным 2p, т.е.
rn = r, ny = j + 2kp,
откуда
где 
есть
арифметическое значение корня и k -
любое целое число. Таким образом мы
получаем:
|
(16) |
т.е. для извлечения корня из комплексного числа надо извлечь корень из его модуля, а аргумент разделить на показатель корня. В формуле (16) число k может принимать всевозможные целые значения; однако можно показать, что различных значений корня будет только n, и они будут соответствовать значениям:
k = 0, 1, 2, ..., (n-1) |
(17) |
Чтобы
доказать это, заметим, что правые части
в формуле (16) будут различными при двух
различных значениях k
= k1 и k
= k2 тогда,
когда аргументы 
и 
отличаются
не кратным 2p,
и будут одинаковыми, если указанные
аргументы отличаются кратным 2p.
Но
разность (k1 - k2) двух
чисел из ряда (17) по абсолютному значению
меньше n,
а потому разность
не может быть кратна 2p, т.е. n значениям k из ряда (17) соответствуют n различных значений корня. Пусть теперь k2 - целое число (положительное или отрицательное), не заключающееся в ряде (17). Мы можем представить его в виде:
k2 = qn + k1
где q - целое число и k1 - любое число из ряда (17), а потому
,
т.е. значению k2 соответствует то же значение корня, что и значению k1, заключающемуся в ряде (17). Итак, корень n-й степени из комплексного числа имеет n различных значений. Исключение из этого правила представляет лишь частный случай, когда подкоренное число равно нулю, т.е. r = 0. В этом случае все указанные выше значения корня равны нулю.
5) Перестановки и их кол-во, лемма о транспозициях
6) Определители n-го порядка, св-ва говорящие о равенстве определителя нулю
Свойства:
- определитель, имеющий нулевую строку, равен нулю
- определитель, имеющий две равные строки, равен нулю
- определитель, имеющий две пропорциональные строки, равен нулю
- если в определителе одна из строк является линейной комбинацией других строк, то определитель равен нулю