- •Вопрос 1.Частные производные первого порядка функции многих переменных. Полный дифференциал.
- •Вопрос 2. Частные производные высших порядков функции многих переменных.
- •Вопрос 3. Понятие первообразной, неопределенный интеграл.
- •Вопрос 4. Свойства неопределенного интеграла.
- •Вопрос 5. Таблица неопределенного интеграла. Нахождение неопределенного интеграла с помощью свойств и таблицы.
- •Вопрос 6. Интегрирование методом замены переменной.
- •Вопрос 7. Интегрирование по частям.
- •Вопрос 8. Интегрирование рациональных функций.
- •Вопрос 9. Интегрирование тригонометрических функций.
- •Вопрос 12. Понятие определенного интеграла, его свойства.
- •Вопрос 15. Геометрические и физические применения определенного интеграла.
- •Вопрос 16. Несобственный интеграл: понятие, вычисление, условие сходимости.
- •Вопрос 18. Дифференциальные уравнения первого порядка: понятие, решение задачи Коши.
- •Вопрос 19. Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными.
- •Вопрос 20. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Вопрос 21. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Вопрос 18. Дифференциальные уравнения первого порядка: понятие, решение задачи Коши.
Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае
можно записать в виде
F(x; у; у') = 0. (48.1)
Уравнение связывает независимую переменную х, искомую функцию
у и ее производную у'. Если уравнение (48.1) можно разрешить относительно
у', то его записывают в виде
у' = f(x; у) (48.2)
и называют ДУ первого nорядка, разрешенным относительно nроuзводной. Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно
производной, можно записать в дифференциальной. форме:
Р(х; у) dx + Q(x; у) dy = О, где Р(х; у) и Q(x; у) - известные функции. Условие, что при х = Х0 функция У должна быть равна заданному
числу У0, т. е. у = У0 называется начальным условием. Начальное
условие записывается в виде
У(Х0) = У0 (48.4)
Задача отыскания решения ДУ первого порядка (48.3), удовлетворяющего
заданному начальному условию (48.4), называется задачей Коши.
Вопрос 19. Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными.
Наиболее простым ДУ первого порядка является, уравнение вида
Р(х) . dx + Q(y) . dy = 0. в нем одно слагаемое зависит только от х, а другое - от у. Иногда
такие ДУ называют уравнениями с разделенными переменными. Проинтегрировав
почленно это уравнение, получаем:
- его общий интеграл.
Вопрос 20. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
к уравнению с разделяющимися переменными приводятся однородные
ДУ первого порядка.
Функция f(x; у) называется однородной функцией n-го nорядка (измеренuя),
если при умножении каждого ее аргумента на произвольный
множитель вся функция умножится на n, т. е.
. Дифференциальное уравнение
у' = f(x;y) (48.7) называется oднopoдным, если функция f(x; у) есть однородная
функция нулевого порядка. Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме:
P(x;y)* dx + Q(X;Y)* dy = 0.
Вопрос 21. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Уравнение вида b0(х)у(n) + b1(x)y(n-1) + ... + bn(Х)У = g(X), (49.11)
где bо(х)≠0, b1(x), ... ,bn(x),g(x) - заданные функции (от х),
называется линейным ДУ n-го nорядка.
Оно содержит искомую функцию у и все ее производные лишь в
первой степени. Функции b0(х), b1 (х), ... , bn(х) называются коэффициентами уравнения (49.11), а функция g(x) - его свободным членом.
~Если свободный член g(x) == 0, то уравнение (49.11) называется
лuнейным одиороным уравнением; если g(x)≠0, то уравнение
(49.11) называется неоднородным.