Вопрос 12. Понятие определенного интеграла, его свойства.

Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxx_i 0 и произвольном выборе точек _i интегральная сумма стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].

Обозначение :

а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.

1. 

2. 3).

5).Если f(x)  (x) на отрезке [a, b] a < b, то

6).Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:

7).Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка  такая, что

Если функции f(x) и (x) непрерывны на отрезке [a, b], и функция (х) знакопостоянна на нем, то на этом отрезке существует точка , такая, что

Вопрос 15. Геометрические и физические применения определенного интеграла.

Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.

Для нахождения суммарной площади используется формула .

Пусть требуется найти значение какой-либо геометрической или

физической величины А связанной с отрезком [а; b]

изменения независимой переменной х.

Для нахождения этой величины А можно руководствоваться одной

из двух схем: 1 схема (метод интегральных сумм) и 2 схема (метод дифференциала).

Первая схема базируется на определении определенного интеграла.

1. Точками х0 = а,X1, . . . ,Хn = b разбить отрезок [а; b] на n частей.

В соответствии с этим, интересующая нас величина А разобьется на n

«элементарных слагаемых» ∆Аi.

2. Представить каждое «элементарное слагаемое» в виде произведения некоторой функции, вычисленной в произвольной точке соответствующего отрезка на его длину:

∆A ∆xi.

При нахождении приближенного значения ∆Аi допустимы некоторые

упрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой, стягивающей

ее концы; переменную скорость на малом участке можно

приближенно считать постоянной и т. д.

Получим приближенное значение величины А в виде интегральной

суммы : n

З. Искомая величина А равна пределу интегральной суммы, т. е.

Схема 1 была применена для выяснения геометрического и физического

смысла определенного интеграла .

Вопрос 16. Несобственный интеграл: понятие, вычисление, условие сходимости.

Несобственный интеграл т. е. определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.

Если существует конечный предел то его назывыют несобственным интегралом 1 рода и обозначают

. сход

2. расх

Пусть функция ƒ(х) непрерывна на промежутке [а; b) и имеет бесконечный разрыв при х = b. Если существует конечный предел то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают

Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен,то говорят, что интеграл расходится.