Вопрос 6. Интегрирование методом замены переменной.

Пусть задан интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b].

Введем новую переменную в соответствии с формулой x = (t).

Тогда если

1) () = а, () = b

2) (t) и (t) непрерывны на отрезке [, ]

3) f((t)) определена на отрезке [, ], то

Тогда

Вопрос 7. Интегрирование по частям.

Если функции u = (x) и v = (x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

На отрезке [а; Ь] имеет место равенство (uv)' = u'v + uv'. Следовательно,

функция uv есть первообразная для непрерывной функции

,u'v + uv'. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем:

·

Вопрос 8. Интегрирование рациональных функций.

Р_n(х)= a₀хn+a₁x ^n-1+….+а _n-1 х+а_n,

где n - натуральное число, α_i (i=0,1,.., n) - постоянные коэффициенты, называется многочленом (или целой рациональной функцией). Число n называется степенью многочлена

Корнем многочлена называется такое значение х0 (вообще говоря, комплексное) переменной х, при котором многочлен обpaщaeтcя в нуль, т. е. Рn(хо)=0.

Дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью) называется функция, равная отношению двух многочленов, т. е. ƒ(х) = , где Рm(х) - многочлен степени т, а Qn(x) - многочлен степени n.

Рациональная дpобь называется правильной если степень числителя меньше степени знаменателя, т. е. m<n; в противном случае (если т ип ) рациональная дробь называется неправильной.

Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби т. е.

Вопрос 9. Интегрирование тригонометрических функций.

Вычисление неопределенных интегралов типа сводится к вычислению интегралов от paциoнaльнoй фyнкции подстановкой которая называется универсальной.

Частные случаи:

1.∫R(sinx)coxdx ; t=sinx; coxdx=dt

2.∫R(cox)sinxdx; t=cosx;-dt=sinxdx

3.∫R(tgx)dx; t=tgx; dx=dt/1+t²

4.∫R(sinx,cosx)dx ; sin и cos входят в подинтегр. Ф. в четных четвертях

t=tgx; cos²x=1/1+t²; sin²x=t²/1+t² ; dx=dt/1+t²

Интегралы типа ∫sin^mх•cosⁿx dx

Для нахождения таких интегралов используются следующие приемы:

1) подстановка sinx=t, если n - целое положительное нечетное число;

2) подстановка cosx=t, если m - целое положительное нечетное число;

3) формулы понижения порядка: cos²x=1/2(1+cos2x), sin²x =1/2(1-cos 2x), sinx-cosx =1/2 sin2x, если тип - целые неотрицательные четные числа;

4) подстановка tg х=t, если m+n - есть четное отрицательное целое число.Вопрос 10. Интегрирование иррациональных функций: метод рационального выражения.

Интеграл вида где n- натуральное число. С помощью подстановки функция рационализируется.

Тогда

Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.

Определение: Биноминальным дифференциалом называется выражение

x^m(a + bxⁿ)^pdx

где m, n, и p – рациональные числа.