7. Биномиальная теорема. Треугольник Паскаля. Теорема Вандермонда.

ТЕОРЕМА 8.38. (Биномиальная теорема). Для произвольного положительного целого числа n справедливы равенства

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку a^rb^n-r получено в результате r-кратного выбора а и n–r -кратного выбора b из n сомножителей в выражении (а + b)ⁿ, то коэффи­циент при a^rb^n–r равен числу способов r-кратного выбора а из n сомножителей .Второе равенство следует из того факта, что

ПРИМЕР 8.39. Построим разложение (2х + 3у²)⁴. Используя биномиальную тео­рему, находим

7. Биномиальная теорема. Треугольник Паскаля. Теорема Вандермонда.

Треугольник Паскаля

Теорема, в частно­сти, дает возможность построить треугольник Паскаля. В доказательстве, при­веденном ниже, использована комбинаторная техника. Доказываем теорему, используя метод математической индукции.

ТЕОРЕМА 8.42. Для всех целых чисел r и n таких, что 1 < r < n-1, С(n,r) = С(n – 1, r – 1) + С(n –1, r).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть т – один из n объектов, из которых требуется вы­брать r объектов. Из С(n,r) способов, которыми можно выбрать r объектов, рассмотрим то количество случаев, когда т является одним из выбранных объек­тов, и количество случаев, когда т выбранным объектом не является. Их сумма должна равняться С(n,r). (Почему?) Сначала рассмотрим количество случаев, когда т – один из выбранных объектов. Поскольку т уже выбрано, требуется выбрать r – 1 объект из n – 1 объектов. Существует С(n – 1,r – 1) способов сделать этот выбор. Далее рассмотрим количество способов, при которых т не являет­ся одним из выбранных объектов. По-прежнему требуется выбрать r объектов, но теперь из n – 1 объектов, учитывая, что т не может быть выбран. Другими словами, существует только n–1 объектов, из которых выбираются r объектов. Таким образом, существуют С(n–1,r) способов сделать такой выбор. Складывая количество способов выбора в обоих случаях, получаем С(n,r) = С(n – 1, r – 1) + С (n – 1,r).

Диаграмма, изображенная на рис. 8.10, известна как треугольник Паска­ля. Каждый из внутренних элементов треугольника равен сумме двух элементов, расположенных над ним, что является прямым следствием доказанной выше тео­ремы. Имеем

В первом случае n = 2иr= 1, а во втором случае n = 3 и r = 2. Можно заметить, что (n + 1)-ый ряд состоит из коэффициентов разложения (а + b)ⁿ. Например,

Эти коэффициенты приведены в пятом ряду треугольника. На рис. 8.11 изображен треугольник Паскаля с вычисленными элементами.

7. Биномиальная теорема. Треугольник Паскаля. Теорема Вандермонда.

ТЕОРЕМА 8.44. (Вандермонд) Пусть т, n и r – положительные целые числа такие, что r < min (m, n). Тогда

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Левая часть равенства выражает количество способов вы­бора r объектов из т + n объектов. Каким бы образом мы не выбирали r объектов из т + n объектов, для некоторого 0 < k < r всегда k объектов выбираются из т объектов и r – k объектов выбираются из n объектов. Для этого существуют

способов. Обратно, если k объектов для любого 0 < k < r выбираются из m объектов и r – k объектов выбираются из n объектов, то при этом r объектов выбираются из m + n объектов. Следовательно, Следующее утверждение позволяет находить сумму квадратов чисел, обра­зующих строку треугольника Паскаля.

СЛЕДСТВИЕ 8.45. Для любого положительного целого числа n

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Полагая в предыдущей теореме n = m = r, получаем

8. Теорема Муавра. Выражение степеней косинусов и синусов от аргумента x через косинусы и синусы от аргументов nx и наоборот.

ТЕОРЕМА 11.9. Для углов  и  (cos() + isin())(cos() + isin(/)) = (cos( + ) + isin( + )).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (cos() + isin())(cos() + isin(/)) = cos() cos() + i² sin() sin() + i sin() cos() + i sin() cos() = cos() cos() – sin() sin() + i(sin() cos() + cos() sin()) = cos( + ) + i sin( + ).

Из этой теоремы следует, что (cos() + isin())² = cos(2) + isin(2). Попробуйте доказать следующую теорему, используя метод индукции.

ТЕОРЕМА 11.10. (Муавр) Для произвольного угла  имеет место равенство (cos()+isin())^k = cos(k) + isin(k).

Нам необходимо еще одно свойство комплексных чисел. Рассмотрим комплексное число а + bi как изображено на рис. 11.1. По теореме Пифагора . По определению a ,поэтому .

Таким образом, любое комплексное число может быть преобразовано к виду . Из приведенной выше теоремы далее следует, что (а+bi)ⁿ=((cos()+isin()))ⁿ = ⁿ(cos(n) + isin(n)).