5. Основные теоремы о дифференцируемых функциях: теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, правило Лопиталя.

Теорема Ферма. Пусть функция имеет на множестве точку экстремума , причём множество содержит некоторую -окрестность точки . Тогда либо имеет в точке производную, равную 0, то есть , либо производная в точке не существует. Замечание. Заметим, что условие означает, что тангенс угла наклона касательной к графику , проведённой при , равен 0. Отсюда , то есть теорема Ферма утверждает, что касательная, проведённая в точке экстремума, горизонтальна (если эта касательная существует).

Теорема Ролля. Пусть функция дифференцируема на интервале , непрерывна в точках и и принимает в этих точках значение 0: . Тогда найдётся хотя бы одна точка , в которой . Замечание . Это утверждение можно переформулировать так: между двумя корнями и дифференцируемой функции обязательно найдётся корень её производной . Условие означает, что касательная, проведённая к графику при , расположена горизонтально.

Заметим также, что теорема Ролля не утверждает, что корень -- единственный корень производной на интервале ; на этом интервале может находиться несколько корней производной.

Теорема Лангранжа. Пусть функция дифференцируема на интервале и непрерывна в точках и . Тогда найдётся такая точка , что (1). Замечание. Формулу (1) можно записать в виде (2). Если считать, что аргументу а придано приращение , то функция получает приращение . (При этом мы не считаем, что и стремятся к 0, то есть это конечные, а не бесконечно малые, приращения.) При этих обозначениях формулу (2) мы можем записать в виде , в котором участвуют конечные приращения аргумента и функции. Поэтому формулу (2) называют формулой конечных приращений.

Теорема Коши. Пусть функции и дифференцируемы на интервале и непрерывны при и , причём при всех . Тогда в интервале найдётся такая точка , что Замечание. Можно считать функции и координатами движущейся на плоскости точки, которая описывает линию , соединяющую начальную точку с конечной точкой . (Тогда уравнения и параметрически задают некоторую зависимость , графиком которой служит линия) . Отношение , как нетрудно видеть из чертежа, задаёт тогда угловой коэффициент хорды, соединяющей точки и . В то же время, по формуле производной функции, заданной параметрически, имеем: . Значит, дробь -- это угловой коэффициент касательной к линии L в некоторой точке . Тем самым утверждение теоремы означает, с геометрической точки зрения, что на линии L найдётся точка, такая что проведённая в этой точке касательная параллельна хорде, соединяющей крайние точки линии. Но это -- то же самое утверждение, которое составляло геометрический смысл теоремы Лагранжа. Только в теореме Лагранжа линия L была задана явной зависимостью , а в теореме Коши -- зависимостью, заданной в параметрической форме.

Правило Лопиталя. представляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность типа или . Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности.

Если и , то ; Если и , то аналогично.