1. Функции. Определение, способы задания, элементарные функции, область определения и множество значений, свойства функций. Последовательность.

Определение функции. Пусть x и y- некоторые числовые множества. Функцией f называется множество упорядоченных пар чисел (x;y), таких, что x€X, y€Y, и каждое x входит в одну и только одну пару этого множества, а каждое y входит по крайней мере в одну пару. Числу х поставлено в соответствие число у, и пишут у=f(x). Число у называется значением функции f в точке х. Переменную у называют зависимой переменной, а переменную х- независимой переменной (или аргументом); множество Х- областью определения функции, а множество У- множеством значений функции.

Способы задания функций. 1)Табличный способ. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством.2)Графический способ. Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. 3)Аналитический способ. Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью. Если зависимость между x и y задана формулой, разрешенной относительно y, т.е. имеет вид y = f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде.Если же значения x и y связаны некоторым уравнением вида F(x,y) = 0, т.е. формула не разрешена относительно y, что говорят, что функция y = f(x) задана неявно.

Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций:1)алгебраические: степенная, рациональная.2) трансцендентные: показательная и логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические.

Свойства функций: 1. Область определения функции – множество значений аргумента, при которых задана функция. (y = x2 – 1, D: R, или x – любое число).2. Нули (корни) функции - точки, в которых функция обращается в нуль, или, иначе, решения уравнения f(x) = 0. (y = 2x – 1, один нуль). 3. Промежутки знакопостоянства - интервалы, на которых функция положительна или отрицательна, или, иначе, решения неравенств f(x) > 0 и f(x) < 0.4. Точки экстремума функции – точки, лежащие внутри области определения, в которых функция принимает самое большое (максимум) или самое малое (минимум) значение по сравнению со значениями в близких точках. (y = x2 – 2x, x = 1 – точка минимума. Значение в этой точке равно –1: y(1) = –1). 5. Промежутки возрастания и убывания (монотонность) функции – интервалы, на которых функция или возрастает, или убывает. (y = 1 – x, y убывает на всей числовой оси). 6. Наибольшее и наименьшее значения функции - самое большое или самое маленькое значение функции по сравнению со всеми возможными. (y = 1 – x; функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений).7. Множество значений функции – множество чисел, состоящее из всех значений функции. (y = –x, Е: R, или y – любое число).

Вопросы к экзамену: