Раздел 3. «Числовые и степенные ряды»

Три свойства сходящихся числовых рядов.

1 если ряд имеет сумму S то ряд имеет сумму S

2 если ряды и имеют суммы S и T то ряд имеет сумму S+T

3. Если от ряда имеющего сумму отбросить конечное число слагаемых (или прибавить) то получим ряд который имеет сумму

Необходимый признак сходимости числового ряда.

Если ряд сходится (имеет сумму), то для общего члена ряда

Геометрический и гармонический ряды: определения и свойства сходимости и расходимости.

Геометрический ряд это такой ряд что где q представляет собой либо комплексное либо вещественное число. Ряд сходится только если и его сумма равна S=

Гармонический ряд это такой ряд что для него выполняется необходимое условие сходимости

Пусть даны положительные ряды и такие что 0< тогда

1 если больший ряд имеет сумму , то имеет сумму и меньший ряд

2 если меньший ряд не имеет суммы то ее не имеет и больший ряд

Ряд с положительными членами; первый признак сравнения рядов с положительными членами.

Пусть дана последовательность положительных чисел тогда выражение вида называется рядом с положительными членами или положительным рядом

Первый признак сравнения.

= + + ... + + ... ( > 0)(1)

= + + ... + + … ( > 0) (2)

Если для n ≥ n ≤ и ряд (2)

сходится, то сходится также и ряд (1). Если для n ≥ n ≥ и ряд (2)

расходится, то расходится и ряд (1).

Определение знакопеременного ряда и достаточный признак его сходимости.

Ряд + + ... + + ... в котором любой его член может быть как положительным так и отрицательным называется знакопеременным

Ряд + + ... + + ... называется знакопеременным если любой его член может быть как положительным так и отрицательным

Если для знакопеременного ряда + + ... + + ... сходится ряд (имеет сумму) + + ... + + ... то сходится (имеет сумму) знакопеременный ряд

Интегральный признак сходимости числового ряда.

Пусть дан положительный ряд + + ... + + ... такой что ≥ ≥ ... ≥ ≥ ...

Пусть дана функция y=f(x) такая что f(1)= f(2)= f(n)= тогда если тогда ряд сходится (верно обратное) или если то ряд расходится (верно обратное)

Определение ряда с положительными членами и признак сходимости Даламбера.

Пусть дана последовательность положительных чисел тогда выражение вида называется рядом с положительными членами или положительным рядом

Пусть для положительного ряда =c тогда

если с<1 ряд сходится (имеет сумму)

если с>1 ряд суммы не имеет

если с=1 нет ответа.

Первый признак сравнения положительных числовых рядов и следствие из него. Первый признак сравнения.

= + + ... + + ... ( > 0)(1)

= + + ... + + … ( > 0) (2)

Если для n ≥ n ≤ и ряд (2)

сходится, то сходится также и ряд (1). Если для n ≥ n ≥ и ряд (2)

расходится, то расходится и ряд (1).

Знакочередующиеся ряды, признак сходимости Лейбница.

Ряд вида для >0, … называется знакочередующимся

Признак лейбница. Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине т.е > > ... > > >… и то ряд сходится (имеет сумму) и его сумма S не превосходит его первого члена.

Определение степенного ряда и вычисление его радиуса сходимости.

Пусть дана бесконечная последовательность чисел и независимая переменная x составим ряд.

Который назовем степенным при этом , - назовем его коэфицентами. Придавая значения х будем получать числовые ряды

Радиус сходимости степенного ряда число R>0 называется радиусом сходимости ряда . если при х (-R;R) ряд сходится (имеет сумму).

Если существует предел D= и то радиус сходимости R степенного ряда . равен R=

Теорема Абеля о степенном ряде.

Если степенной ряд . сходится при x= , тогда ряд будет сходиться при всех x интервала - и расходиться при x<- и x> если x= ряд расходится

Определения ряда Тейлора и ряда Маклорена.

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a. Формальный ряд называется рядом Тейлора функции f в точке a.

Пусть y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x=0 и имеет в этой точке производные всех порядков степенной ряд

f(x)=f(0)+ x+ +..+ +... называют рядом маклорена для функции f(x)

Если бесконечно дифференцируемая функция y=f(x) разложенная в интервале (-R,R) в степенной ряд то это ряд маклорена и это разложение единственное.

Ряд Тейлора; представление элементарных функций в виде суммы ряда Тейлора.

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности и имеет в этой точке производные всех порядков. Степенной ряд

f( +…+ называют рядом Тейлора с центром

Ряд Маклорена и условие его сходимости.

Пусть y=f(x) бесконечно дифференцируемая функция в некотором интервале (-R,R) lR пусть она разлагается в степенной ряд ..

Найдем производные f’(x) почленно дифференцируя ряд

Полагаем х=0 тогда из полученных равенств имеет , ,

Подставим найденные коэфиценты в исходное разложение функции f(x) получим ряд

f(x)=f(0)+ x+ +..+ +.. то получим ряд маклорена.

Пусть функция f(x) определена и бесконечно дифференцируема в интервале (-r,r) Если существует такая константа M что во всех точках указанного интервала выполняются неравенства

То в этом интервале ряд Маклорена сходится к функции f(x)

Разложение в ряд Маклорена функции .

Пусть f(x)= тогда f(x)=f’(x)=f”(x)=…= =

Следовательно f(0)=f’(0)= =1 в результате ряд маклорена для функции f(x)= принимает вид :

+…+

Разложение в ряд Маклорена функций y= sin x и y = cos x.

Пусть y=f(x)=sin(x) тогда f(x)=sin(x), f’(x)=cos(x), f”(x)=-sin(x),

Следовательно последовательность производных функций y=sin(x) периодична с периодом 4 полагаем x=0 тогда

f(0)=0, f’(0)=1, f”(0)=0, ,

в результате имеем следующую закономерность

В итоге ряд маклорена для sin(x) имеет вид

Sin(x)=x-

Поскольку в разложении x степени нечетные то f(-x)=-f(x)

Продифференцируем левую и правую части ряда маклорена для функции sin

Cos(x)=1-

Для ряда маклорена cos(x) x четная поэтому f(-x)=f(x)

Разложение в ряд Маклорена функции .

В сходящемся геометрическом ряде

=1+x+ при -1<x<1

Произведем замену x=- тогда ряд принимает вид

X

X

=1- + -…+

В

0

0

правой части (t)=arctg(x)=(t- =

=x-

Вычисление чисел e и  с помощью степенного ряда.

Пусть f(x)=e^x , тогда f(x)=f’(x)=f’’(x)=…=f⁽ⁿ⁾(x)=e^x, , а следовательно f(0)=…f⁽ⁿ⁾(0)=1

В результате ряд Маклорена для функции f(x)=e^x примет вид:

e^x=1+x+x²/2!+x/3!+…x/n!

Область сходимости ряда:

R= = =

Полагаем в разложение e^x , что x=1, тогда

e=1+1+1/2!+1/3!+…1/n!... в частности:

e 1+1+1/2!+1/3!+1/4!=2+0,5+0,16+0,04=2,7

Г.Лейбниц (1646-1716) получил в 1674 г. ряд

-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+... =/4,

Для вычисления "пи" удобнее использовать ряд, получаемый от разложения arctgx при значении x=1/ , при котором разложение функции arctg 1/ =/6 в ряд даёт равенство

/6 = 1/ [1 - 1/3*1/3 + 1/5 * (1/3)² - 1/7 * (1/3)³ + ...], т.е.  = 2 [1 - 1/9 + 1/5 * (1/3)² - 1/7 * (1/3)³ + ...]

частично суммы этого ряда можно вычислять по формуле

_n+1 = S_n + (2 )/(2n+1) * (-1/3)ⁿ,

при этом "пи" будет ограничено двойным неравенством:

_2n <  < S_2n+1