Раздел 2. «Дифференциальные уравнения»

Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения.

Уравнения вида Φ(x,y,y’)=0 где x-независимая переменная y=f(x)- неизвестная функция и y’=f’(x)- ее производная называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Решение уравнения Φ(x,y,y’)=0 называется функция y=f(x) определенная на (a,b) C R которая при подстановке ее вместе со своей производной y’=f’(x) в уравнение обращает его в тождество

Если в некоторой окрестности точки ( ) функция f(x,y) определена, непрерывна, и имеет непрерывную частную производную то существует такая окрестность точки ( ) в которой задача Коши имеет решение притом единственное.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальные уравнения y’=F(x,y) где F(x,y)=p(x)q(y) для непрерывных функций p(x) и q(y) называется уравнением с разделяющимися переменными.

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение первого порядка N(x,y)dx+M(x,y)dy=0

Где N(x,y) и M(x,y) однородные функции одной и той же степени, называются однородным уравнением.

y’=F(x,y) является однородным тогда и только тогда когда функция F(x,y) есть однородная функция нулевой степени.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка (метод Бернулли).

Дифференциальное уравнение y’=F(x,y) называется линейным если F(x,y)=p(x)y+q(x) для непрерывных q(x) и p(x) , в частном случае когда q(x)=0 имеем F(x,y)=p(x)y тогда уравнение называется линейным однородным

Вариация постоянной: в решении линейного однородного уравнения заменить постоянную С на функцию F(x) и подставить ее в уравнение. Требуется подобрать F(x) такое чтобы уравнение обращалось в тождество

Метод Бернули: полагаем y=u*v . делаем замену в уравнении. Находим v или u интегрируя найденное получаем частное решении. Подставляя найденное в выражение находим вторую часть. Перемножая u на v получаем общее решение исходного уравнения.

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

Уравнение называется полных дифференциалах если его левая часть- полный дифференциал некоторой функции F(x,y) т.е dF=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 тогда F(x,y)=C- общее решение уравнения.

Для того чтобы уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 было уравнением в полных дифференциалах необходимо и достаточно чтобы в некоторой области V c l функции p,q были дифференцируемы и удовлетворяли условиям

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

Если дифференциальное уравнение y”=F(x,y,y’) второго порядка может быть сведено к последовательному решению 2ух дифференциальных уравнений первого порядка то говорят что уравнение допускает понижение порядка.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеют вид y”+ay’+by=y(x)

Где a и b постоянные а y(x) непрерывная функция. Если y(x)=0 то уравнение называется однородным в противном случае уравнение называется неоднородным

Линейные (неоднородные) дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Уравнение вида y”+ay’+by=y(x) где a,b-const а y(x) непрерывная функция, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка

* Системы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их решения.

Системы дифференциальных уравнений.

Совокупность вида

Где , x – независимая переменная , - независимые (искомые функции) их производные

Называется системой дифференциальных уравнений. Если данная система может быть разрешима относительно производных и принимать вид

То система называется системой дифференциальных уравнений в нормальной форме.

Совокупность функций …, (x) определенных на интервале (a,b) называется решением системы дифференциальных уравнений если подстановка функций в уравнение обращают их в тождества

* Использование дифференциальных уравнений в экономике.