Финансовый университет при правительстве Российской Федерации

«Международный экономический факультет»,

специальность «Экономика (бакалавриат)»

Вопросы экзамена по математическому анализу за II семестр 1 года обучения

Раздел 1. «Интегральное исчисление»

Определение и теоремы о существовании и общем виде первообразной.

Пусть ф-ия y=f(x) задана на числовом промежутке. Тогда ф-ия y=F(x) называется первообразной для ф-ии y=f(x), если для любого x ͼ X выполняется F′(x) = f(x)

Теорема 1. Если ф-ия непрерывна на числовой прямой X ϵ R, то на этом промежутке у нее всегда есть первообразная

Теорема 2. Если для ф-ии на X ϵ R ф-ия Y=F(x) – первообразная, то ф-ия G(x) = F(x) + C дает общий вид первообразной

Четыре простейших свойства неопределенного интеграла.

[òf(x)dx]’ = (F(x)+C)’ = f(x)

d[òf(x)dx] = f(x)dx

òA×f(x)dx = A×òf(x)dx

ò[f(x)+g(x)]dx = òf(x)dx + òg(x)dx

Формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

Пусть имеются дифференцируемые ф-ии u(x) и v(x) справедлива ф-ла:

(u(x)*v(x))′ = u′(x)*v(x)+u(x)*v′(x)

Тогда: ∫ (u′(x)*v(x)+u(x)*v′(x))dx = u(x)*v(x), отсюда ∫ (u′(x)*v(x))dx+∫(u(x)*v′(x))dx = u(x)*v(x) или ∫du*v + ∫u*dv = u*v

òu dv = uv – òv du

Правила интегрирования выражений вида .

Применяется метод введения новой переменной:

а) если , x = a sin t

б) если , x = a tg t

в) если , x = a / cos t

Затем использовать тождество sin²t + cos²t = 1

Интегрирование рациональных выражений с использованием «метода неопределенных коэффициентов».

Пример: разложим дробь в сумму элементарных:

Метод интегрирования путем замены переменной.

Теорема: Пусть для всех x ϵ X имеет место ∫f(x)dx = F(x) + C

Если x=g(t), для t ϵ T ϵ R и ф-ия g(t) имеет g’(t), тогда ∫f(x)dx = ∫f(g(x))dt = F(g(t)) + C

F(x) = F(g(t))

Подводим функцию  под знак дифференциала:

Раскрывая дифференциал, легко проверить, что:

Фактически  и  

Методы интегрирования тригонометрических функций на примерах интегралов от четной и нечетной степеней синуса и косинуса, от степеней тангенса и котангенса.

Определенный интеграл, формула Ньютона-Лейбница.

Пусть y=f(x) непрерывная функция на отрезке [a,b] и F(x) одна из ее первообразных, т.е . Определенным интегралом от функции y=f(x) по отрезку [a,b] называется число, которое обозначатся в виде при этом числа a и b называются пределами интегрирования (нижним и верхним). Имеет место формула Ньютона-Лейбница

Свойства определенного интеграла; интегрирование неравенств, теорема о «среднем значении функции».

1. 

2. 

3. 

4. Пусть а<c<b тогда

5. 

6. 

7. Если на [a,b] задана непрерывная функция f(x)≥0 то ≥0

8. Если на [a,b] выполняется неравенство f(x)≤g(x) то

Для непрерывной на отрезке [a,b] функции f(x) найдется такая точка C что значение функции y=f(x) определяемое называется средним значением функции на отрезке.

Вычисление площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла.

Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функция y=f(x)≥0. Найдем площадь фигуры ограниченной сверху этой кривой y=f(x), осью абсцисс и прямыми x=a и х=b . Если функция y=f(x) непрерывная на отрезке [a,b] то

Если фигура располагается ниже оси Oх, то y=f(x)≤0 для a≤x≤b и

Определение интеграла от функции с бесконечным разрывом.

Пусть функция y=f(x) для a≤x≤b непрерывна, а в точке х=b имеет разрыв второго рода (бесконечный) в этом случае полагают

Если предел конечен, то говорят, что интеграл сходится; если предел бесконечен, то - расходится.

Замена переменной в определенном интеграле.

Пусть дан , где f(x) непрерывна на [a,b] введем новую переменную x=g(t)

Если:

1. g(α)=a ; g(β)=b, то [α,β] новый отрезок интегрирования;

2. g(t) и g’(t) непрерывны на [α,β];

3. f(g(t)) непрерывна на[α,β] тогда

Вычисление объема тела вращения с помощью определенного интеграла.

Объем тела вращения криволинейной трапеции abcd, где дуга ab - график непрерывной функции y=f(x) для x принадлежащего [a,b] находится по формуле

Если кривая y=f(x) вращающаяся вокруг оси Oу, то надо найти обратную функцию x=g(y) и для y=f(x) применить формулу

Определение и теорема о вычислении двойного интеграла.

Если существует конечный предел Ѵ для функции z=f(x,y), то функция называется интегрируемой на множестве D. Cамо значение предела называется двойным интегралом функции z=f(x,y) на множестве D и обозначается

Если функция z=f(x,y) непрерывна на D и z=f(x,y)≥0 для всех (x,y)єD, то двойной интеграл численно равен объему Ѵ вертикального цилиндра, построенного на множестве D, как на основании и ограниченного сверху графиком функции z=f(x,y).

* Использование понятия определенного интеграла в экономике.