- •3. Экстремумы функции. Исследование функции на экстремум с помощью первой производной.
- •4. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
- •5. Асимптоты. Схема построения графика функции
- •6.Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства
- •7. Основные табличные интегралы
- •Неопределенный интеграл степенной функции
- •Неопределенный интеграл експоненты показательной функции
- •8. Интегрирование способом подстановки
- •9.Определеный интеграл.Геометрический смысл
- •10. Вычисление площадей плоских фигур через определенный интеграл
- •12.Деление отрезка в данном отношении.
- •Операции над векторами в прямоугольной системе координат.
- •13. Каноническое уравнение получается из параметрическиx уравнений делением одного уравнения на другое:
- •14.Уравнение прямой в отрезках.
- •15.Взаимное расположения прямых.
- •16.Угол между прямыми
- •17.Аксиомы стереометрии
- •18.Признак параллельности двух плоскостей
- •20.Перпендикуляр и наклонные к плоскости. Теорема о трех перпендикулярах
- •21.Двугранный угол. Признак перпендикулярности двух плоскостей
- •22.Призмы. Виды призм. Площадь поверхности
- •23.Параллелепипед. Виды и свойства
- •25.Площадь поверхности пирамиды
- •26.Усеченная пирамида. Площадь ее поверхности
- •31.Конус. Усеченный конус. Площадь поверхности конуса и усеченного конуса
- •36.Кривые второго порядка
18.Признак параллельности двух плоскостей
1)Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны.
Доказательство проведем от противного. Пусть прямые a и b лежат в плоскости β, причем a || α и b || α (чертеж 2.3.1). Если плоскости α и β не параллельны, то они пересекаются по некоторой прямой c . Поскольку a || α, то по теореме о следе c || a . Аналогично получаем, что c || b , тогда a || b . Мы пришли к противоречию, поскольку a и b по условию пересекаются.
19.Признак перпендикулярности прямой и плоскости Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной прямой. Доказательство Пусть a – прямая,перпендикулярная прямым b и с в плоскости α. Тогда прямая a проходит через точку A пересечения прямых b и с. Докажем, что прямая a перпендикулярна плоскости α. Проведем произвольную прямую x через точку A в плоскости α и покажем, что она перпендикулярна прямой a. Проведем в плоскости α произвольную прямую, не проходящую через точку A и пересекающую прямые b, с и x. Пусть точками пересечения будут B, C и X. . Отложим на прямой a от точки A в разные стороны равные отрезки AA1 и AA2. Треугольник A1CA2 равнобедренный, так как отрезок AC является высотой по условию теоремы и медианой по построению. Треугольник A1BA2 так же равнобедренный. Следовательно, Δ A1BC = ΔA2BC по третьему признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников A1BC и A2BC следует равенство углов A1BX и A2BX, следовательно, равенство треугольников A1BX и A2BX по первому признаку равенства треугольников. Из равенства сторон A1X и A2X, следует, что A1XA2 равнобедренный. Поэтому его медиана XA является высотой. А это и значит, что прямая x перпендикулярна a. По определению прямая a перпендикулярна плоскости α. Теорема доказана.
20.Перпендикуляр и наклонные к плоскости. Теорема о трех перпендикулярах
Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклоннойОтрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.
На рисунке из точки А проведены к плоскости перпендикуляр АВ и наклонная АС. Точка В - основание перпендикуляра, точка С - основание наклонной, ВС - проекция наклонной АС на плоскость .
О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.