1.Вторая производная функции. Геометрический и физический смысл производной. Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование Производной функции f(x) (f'(x₀)) в точке x₀  называется число, к которому стремится разностное отношение   , стремящемся к нулю.

2.Признаки возрастания и убывания функций. Одна из основных задач исследования функции — это нахождение промежутков ее возрастания и убывания. Такое исследование легко провести с помощью производной. Сформулируем соответствующие утверждения. Достаточный признак возрастания функции. Если f’(х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I. Достаточный признак убывания функции. Если f’(х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I. Доказательство этих признаков проводится на основании формулы Лагранжа (см. п. 19). Возьмем два любых числа х₁ и x₂ из интервала. Пусть x₁<x₂. По формуле Лагранжа существует число с∈(х₁, x₂), такое, что Число с принадлежит интервалу I, так как точки х₁ и x₂ принадлежат I. Если f'(x)>0 для х∈I то f’(с)>0, и поэтому F(x₁)<F(x₂) — это следует из формулы (1), так как x₂ — x₁>0. Этим доказано возрастание функции f на I. Если же f’ (x)<0 для х∈I то f'(с)<0, и потому f(x₁)>f (х₂) — следует из формулы (1), так как x₂—x₁>0. Доказано убывание функции f на I. Наглядный смысл признаков ясен из физических рассуждений (рассмотрим для определенности признак возрастания).  Пусть движущаяся по оси ординат точка в момент времени t имеет ординату y = f(t). Тогда скорость этой точки в момент времени t равна f'(t) (см. Мгновенная скорость). Если f’ (t)>0 в каждый момент времени из промежутка t, то точка движется в положительном направлении оси ординат, т. е. если t₁ <t₂, то f (t₁)<f (t₂). Это означает, что функция f возрастает на промежутке I.

3. Экстремумы функции. Исследование функции на экстремум с помощью первой производной.

Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x₁< x₂ выполняется неравенство (f(x₁) < f(x₂) (f(x₁) > f(x₂)).

Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a, b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ^'(x)  0

(f ^' (x)  0).Точка x_о называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки x_о, для всех точек которой верно неравенство f(x) ≤ f(x_о) (f(x) ≥ f(x_о)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.

Если в некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство f(x)<f(х₀) или f(x) > f(х₀), то точка х₀ называется точкой экстремума функции f(x) (соответственно точкой максимума или минимума). Необходимое условие экстремума: если х₀ – экстремальная точка функции f(x), то первая производная f’(х₀) либо равна нулю или бесконечности, либо не существует. Достаточное условие экстремума: х₀ является экстремальной точкой функции f(x), если ее первая производная f’(x) меняет знак при переходе через точку х₀: с плюса на минус – при максимуме, с минуса на плюс – при минимуме.Точка х₀ называется точкой перегиба кривой y=f(х),если при переходе через точку х₀ меняется направление выпуклости. Необходимое условие точки перегиба: если х₀ – точка перегиба кривой y=f(х), то вторая производная f’’(х₀) либо равна нулю или бесконечности, либо не существует. Достаточное условие точки перегиба: х₀ является точкой перегиба кривой y=f(х), если при переходе через точку х₀ вторая производная f’’(х) меняет знак.

Прямая y_ас=kх+b называется наклонной асимптотой кривой y=f(х), если расстояние от точки (x; f(х)) кривой до этой прямой стремится к нулю при х  . При этом

При k=0 имеем горизонтальную асимптоту:y=b.

Если

то прямая х=а называется вертикальной асимптотой

4. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке, нужно исследовать поведение функции на данном отрезке с помощью производной.

Для этого мы следуем известному алгоритму:1. Находим ОДЗ функции.2. Находим  производную функции3. Приравниваем производную  к нулю4. Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак,  и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции:Если на промежутке I производная функции  , то функция   возрастает на этом  промежутке.Если на промежутке I производная функции  , то функция   убывает на этом промежутке.5. Находим точки максимума и минимума функции.В точке максимума функции производная меняет знак с «+» на «-».В точке минимума функции производная меняет знак с «-» на «+».6. Находим значение функции в концах отрезка,Рассмотрим функцию  . График этой функции выглядит так:

5. Асимптоты. Схема построения графика функции

Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

        Определение 7.1   Вертикальной асимптотой графика функции   называется вертикальная прямая  , если   или   при каком-либо из условий:  ,  ,  . Заметим, что мы при этом не требуем, чтобы точка   принадлежала области определения функции  , однако она должна быть определена по крайней мере в какой-либо из односторонних окрестностей этой точки:   или  , где  .     

        Пример 7.1   Рассмотрим функцию  . График   имеет вертикальную асимптоту  , поскольку при   выполняется условие  , а также при   выполняется условие  .