6.Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства

Определение первообразной и неопределенного интеграла

Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если

Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функцииf(x) и обозначается как

Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение

где С - произвольная постоянная. 

Свойства неопределенного интеграла

В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f,  а, k, C - постоянные величины.









7. Основные табличные интегралы

Как всегда при изучении какого-либо раздела начнем с определения Неопределенный интеграл функции f(x) - это такая функция, или, точнее, множество таких функций, производная которых, равна данной функции F(x). В формулах это будет так:

интегралы: Прежде всего конечно

Неопределенный интеграл степенной функции

Неопределенный интеграл експоненты показательной функции

8. Интегрирование способом подстановки

     Чрезвычайно сильным методом приведения интеграла к табличной форме является метод подстановки или замены переменной. Он применяется в двух различных формах, каждая из которых основана на следующей теореме:

 Теорема. Пусть F(z) есть на каком-нибудь промежутке [p, q] первообразная функция для функции f(z). Если φ(x) есть дифференцируемая функция, заданная на промежутке [a, b] и удовлетворяющая неравенствам p ≤ φ(x) ≤ q, то сложная функция F[φ(x)] будет первообразной для функцииf[φ(x)]φ'(x).

 В самом деле, дифференцируя сложную функцию y = F[φ(x)], мы должны ввести промежуточный аргумент z = φ(x). Тогда y = F(z), z = φ(x) и  . Так как F'(z) = f(z), то  ,

     1) 

 2) 

     3) 

.

9.Определеный интеграл.Геометрический смысл

Геометрический смысл: если функция y(x) больше нуля на промежутке [a;b], то площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осью ОХ и двумя прямыми х=а и х=b, равна интегралу от этой функции по переменной х на данном промежутке

10. Вычисление площадей плоских фигур через определенный интеграл

1. С учетом алгоритма выполним задание №2 из последней таблицы.

Рисунок 1

Решение:

Найдём пределы интегрирования.

Для точки А:

10Проделжение

 – не удовлетворяет условию задания

Для точки В:

 – не удовлетворяет условию задачи.

Ответ:   (кв.ед).

12.Деление отрезка в данном отношении.

Определение. Пусть L – произвольная прямая,   – её произвольные точки, причем  . Говорят, что точка С делит отрезок АВ, считая от точки А, в отношении  , если  .

Замечание. Из определения следует, что точки С и В не могут совпадать, ибо в противном случае, т.е. если  , то  , откуда следует, что  , что противоречит предположению  .

   Далее, число  . Действительно, если  , то  , откуда 12.(1) следует, что   и опять приходим к противоречию.

   Возможны два принципиально различных случая расположения точки С на прямой относительно отрезка АВ:

1) Точка С находится на отрезке АВ:

                     А               С             В                         L

                      |                 |               |                                  

                                          рис.16.

2) Точка С находится вне отрезка АВ (неважно справа или слева от отрезка)

                     С               В             А                          L

                      |                 |               |