Операции над векторами в прямоугольной системе координат.

С векторами, заданными в прямоугольной системе координат совершать действия еще проще, чем с их геометрическими образами. В этой статье мы покажем как выполняются операции сложения векторов и умножения вектора на число, если известны их координаты, и подробно разберем решения примеров.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Oxy. Рассмотрим векторы   и  . Эти векторы можно разложить по координатным векторам   и   как   и  , что было показано в

13. Каноническое уравнение получается из параметрическиx уравнений делением одного уравнения на другое:

Вывод  [показать]

где   — координаты   и   направляющего вектора прямой,   и   координаты точки, принадлежащей прямой.

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде:

где   — производный параметр,   — координаты   и   направляющего вектора прямой. При этом

Смысл параметра   аналогичен параметру в векторно-параметрическом уравнении.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки

Если заданы две несовпадающие точки с координатами   и  , то прямая, проходящая через них, задаётся уравнением

или

или в общем виде

14.Уравнение прямой в отрезках.

Уравнение прямой линии, пересекающей ось   в точке   и ось   в точке  :

В этом виде невозможно представить прямую, проходящую через начало координат.

15.Взаимное расположения прямых.

Три точки  ,   и   лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие

Отклонение точки   от прямой   может быть найдено по формуле

где знак перед радикалом противоположен знаку   Отклонение по модулю равно расстоянию между точкой и прямой; оно положительно, если точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой, и отрицательно, если по одну сторону.

16.Угол между прямыми

Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным.

17.Аксиомы стереометрии

Признаки параллельности прямой и плоскости

Стереометрия - раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. 

Аксиома 1.1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки в пространстве, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

Аксиома 1.2. Если две разные плоскости имеют общую точку, то они имеют и общую прямую, проходящую через эту точку.

Аксиома 1.3. Если две разные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом единственную.

Аксиома 1.4. Для произвольной плоскости выполняются аксиомы планиметрии

Теорема  Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.    Доказательство  Пусть α - плоскость, a – не лежащая в ней прямая и a1 – прямая в плоскости α, параллельная прямой a. Проведем плоскость α1 через прямые a и a1. Плоскости α и α1 пересекаются по прямой a1. Если бы прямая a пересекала плоскость α, то точка пересечения принадлежала бы прямой a1. Но это невозможно, так как прямые a и a1 параллельны. Следовательно, прямая a не пересекает плоскостью α, а значит, параллельна плоскости α. Теорема доказана.