9. Закон сохранения энергии в механике

Рассм-м сист-у, сост-ю из nмат-ых точек, м/у кот-и действуют конс-ые силы внутреннего взаимод-ия , и кроме того на мат-ыет.действуют внешние консервативные силы и внешние неконсервативные силы Для каждой материальной точки запишем второй закон Ньютона: , , .Далее левые и правые части каждого уравнения умножим скалярно на , соответственно, где – номер материальной точки. Покажем это на примере -ой материальной точки:  , .Это равенство можно записать в виде: ,или ,где – кинетическая энергия -ой материальной точки, – внутренняя потенциальная энергия -ой материальной точки, – внешняя потенциальная энергия -ой материальной точки, – работа, которую совершают над -ой материальной точкой внешняя неконсервативная сила.Просуммируем левые и правые части преобразованных указанным образом уравнений движения.

, или ,где – кинетическая энергия системы материальных точек, , – внутренняя и внешняя потенциальная энергия м.т., – полная работа внешних неконсервативных сил.Если внешние нек-е силы отсутствуют, правая часть полученного уравнения будет равна нулю и, следовательно, полная механическая энергия системы остается постоянной: - закон сохранения механической энергии системы материальных точек.Полная механическая энергия системы м.т, на которые действуют лишь консервативные силы, остается постоянной, т.е. сохраняется во времени.Для замкнутой системы з-н сох-я полной механической энергии имеет вид: Полная мех-я энергия замкнутой системы материальных точек, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной, т.е. сохраняется во времени.Если в замкнутой системе, кроме консерв-х, действуют такие неконсервативные силы, например, силы трения, то полная механическая энергия системы не сохраняется.

10. Применение з-ов сохранения к абсолютно упругому удару

Абсолютно упругий удар - соударение двух тел, в результате которого в обоих участвующих в столкновении телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия тел до удара после удара снова превращается в первоначальную кинетическую энергию (отметим, что это идеализированный случай).

Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения кинетической энергии и закон сохранения импульса.

Обозначим скорости шаров массами m1 и m2 до удара через ν1 и ν2, после удара - через ν1' и ν2' (рис. 1). Для прямого центрального удара векторы скоростей шаров до и после удара лежат на прямой линии, проходящей через их центры. Проекции векторов скоростей на эту линию равны модулям скоростей. Их направления учтем знаками: положительное соотнесем движению вправо, отрицательное - движению влево.

Рис.1

При указанных допущениях законы сохранения имеют вид

(1)

(2)

Произведя соответствующие преобразования в выражениях (1) и (2), получим

(3)

4)

откуда (5)

Решая уравнения (3) и (5), находим

(6)

(7)

11.Закон всемирного тяготения. Движение в центральном поле. Космические скорости. Законы Кеплера

Это задача небесной механики. Рассмгравитац поле Солн. - з-н всем-го тяг-я,гдеG= 6.67 Нм²/кг² - - гравит- постоянная. -сила грав-гопритяжения.Гравита-е взаим-е осуществляется ч/з грав-е поле.1)Грав-ная сила – консервативная сила , - потенциальная энергия гравитационного поля.Имеет место з-н сох-я мех-ой эн-ии телE = W + U = const2)Гравитационная сила – центральная сила: Возьмем мом--т импульса и расс-им з-н изменен его во времени: з-н сохраненмомента импульса тела.Поск-ку момент импульса тела сохр-ся, дв-е тела происходит в одной плоскости.Прист теперь к расс-нию движения тела: Удобно перейти к системе отсчета, кот-я связана с и вращается с угл-й ск-ю .( -угловая скоростьВовращ-я сист-е отсчета надо добавить центр-ю силу, поэтому ур-е (1) примет вид: ур-е д-я во вращ-сясист отсчета.Вычислим : Здесь использована ф-ла раскрытия дв-го век-гопроиз-ия Тогда (2) примет вид Перейдем к полярной системе координат и выразимr как функцию угла , т.е. . Можно показать, что решение уравнения (3) может быть представлено следующим образом: траектория движения тела в полярных координ-хгде - эксцентриситет, - параметр, опр-ий размеры траектории.Возможны 4 типа траекторий:1) - окружность;2) - эллипс;3) - парабола;4) - гип-ла.Рассмотримкач-но характер дв-я с помощью потенциальной кривой. Для этого введем пот-ю эн-ю центр обежной силы:Тогда во вращающейся системе отсчета: -эффективная потенциальная энергия. за-н со-я эн-и.Посмотрим,от каких физических величин зависит эксцент-т орбиты и параметр . Вернемся к неподвижной системе отсчета. , Используем з-ы сохранения энергии и момента импульса.Для точки А =con эксцентр-т орб-ы. -малая и большая полуоси действительно эксцентриситет эллипсаподстав. и в (5), получ параметр орбиты Из ф-ы (6) получим энергию E: - полная механ-ая энергия телаВведем в точке Aускор-е своб-гопад-я g: .Тогда , ПодставLиEв6)и(7),получим ускорение свободного падения в точке A. 1-я космическая скорость 2-якосмическая скорость.З-ы Кеп-ра1) Все планеты движутся по эллиптич-м орбитам, причем Солнце нах-ся в одном из фокусов орбиты. 2)Отрезок, соедин-й Солнце с планетой, опис-т равные площади за равные пром-и времени. 3)Квадр-ы периодов обращения неск-х планет вокруг Солн относ-я, как кубы больших полуосей эллипсов.1)Мы показ-и, что замкнутые орбиты явл-я эллипсами.2)2-й закон Кеплера представлсобой закон сохр-я момента имп-а. вектор площади Треуг-а. секторальная площадь. 3) Для эллипсов вывод более громоздкий, но для круговых орбит просто: