[Править]Вывод преобразований

Основная статья: Вывод преобразований Лоренца

Преобразования Лоренца могут быть получены абстрактно, из групповых соображений (в этом случае они получаются с неопределённым  ), как обобщение преобразований Галилея (что было проделано Анри Пуанкаре — см. ниже). Однако впервые они были получены как преобразования, относительно которых ковариантны уравнения Максвелла (то есть по сути — которые не меняют вида законов электродинамики и оптики при переходе к другой системе отсчёта). Могут также быть получены из предположения линейности преобразований и постулата одинаковости скорости света во всех системах отсчёта (являющегося упрощённой формулировкой требования ковариантности электродинамики относительно искомых преобразований, и распространением принципа равноправия инерциальных систем отсчёта — принципа относительности — на электродинамику), как это делается в специальной теории относительности (СТО) (при этом   в преобразованиях Лоренца получается определённым и совпадает со скоростью света).

Надо заметить, что если не ограничивать класс преобразований координат линейными, то первый закон Ньютона выполняется не только для преобразований Лоренца, а для более широкого класса дробно-линейных преобразований ^[3](однако этот более широкий класс преобразований — за исключением, конечно, частного случая преобразований Лоренца — не сохраняет метрику постоянной).

[Править]Разные формы записи преобразований [править]Вид преобразований при произвольной ориентации осей

В силу произвольности введения осей координат, многие задачи можно свести к указанному случаю. Если же задача требует иного расположения осей, то можно воспользоваться формулами преобразований в более общем случае. Для этого радиус-вектор точки

,

где   — орты, надо разбить на составляющую   параллельную скорости и составляющую   ей перпендикулярную

.

Тогда преобразования получат вид

,

где   — абсолютная величина скорости,   — абсолютная величина продольной составляющей радиус-вектора.

Эти формулы для случая параллельных осей, но с произвольно направленной скоростью, можно преобразовать к виду, впервые полученному Герглоцем:

.

Обратите внимание, что самый общий случай, когда начала координат не совпадают в нулевой момент времени, здесь не приведён с целью экономии места. Его можно получить, добавив к преобразованиям Лоренца трансляцию(смещение начала координат).

[Править]Преобразования Лоренца в матричном виде

Для случая коллинеарных осей преобразования Лоренца записываются в виде

,

где  .

При произвольной ориентации осей, в форме 4-векторов это преобразование записывается как:

где E — единичная матрица 3 3,   — тензорное умножение трехмерных векторов.

Надо иметь в виду, что в литературе матрица преобразований Лоренца часто записывается для упрощения в системе единиц, где  .

Произвольное однородное преобразование Лоренца можно представить как некоторую композицию вращений пространства и элементарных преобразований Лоренца, затрагивающих только время и одну из координат. Это следует из алгебраической теоремы о разложении произвольного вращения на простые.