- •22. Линейные однородные уравнения в частных производных 1-го порядка.
- •23.Квазилинейное уравнение в частных производных 1-го порядка.
- •24.Уравнение Пфаффа.
- •25. Линейные дифференциальные уравнения порядка n с переменными коэффициентами
- •26. Линейные однородные д.У. Порядка n.
- •27.Линейные неоднородные уравнения порядка n.
- •28. Линейные однородные дифференциальные уравнения n порядка с постоянными коэффициентами.
- •29. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида
- •30.Линейные однородные системы дифф.Ур.
- •31.Линейные неоднородные системы дифф. Ур.
- •32.Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами.
- •33.Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •34. Линейные однородные системы с периодическими коэффициентами.
- •35.Устойчивость дифференциальных систем.
- •36.Метод функции Ляпунова.
- •37.Автономные системы.
- •38.Автономные системы на плоскости.
- •11. Интегрирующий множитель
33.Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
Рассмотрим неоднородную линейную систему со специальной правой частью (1), где A- постоянная матрица, а вектор- функция f(x) имеет вид , где α,β – заданные вещественные числа, , – вектор-функции компонентами которых являются многочлены по переменной x со степенями меньшими или равными соответственно l и m.
Для нахождения общего решения системы (1) достаточно найти общее решение системы (2) и частное решение системы (1).
Частное решение системы (1) нужно искать в виде (3),
Где R,T – вектор-функции компонентами которых являются многочлены степени g+s с неопределенными коэффициентами (если число α+iβ не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения системы (2)); и s=k (если число α+iβ совпадает с корнем характеристического уравнения (2) кратности k).
34. Линейные однородные системы с периодическими коэффициентами.
Рассмотрим систему где вещественная матричная функция Р удовлетворяет следующему условию
Такие матричные функции – периодическими с периодом или Результаты, которые мы получим в этом параграфе образуют основу теории Флоке-Ляпунова.
Теорема 1.31. Каждую фундаментальную матрицу системы (1.31) можно представить в виде Ф(t)=G(t)etR(2.31),где G(t)- -периодическая матрица для , R- постоянная матрица.
Матрица В определенная формулой Ф(t+ )=Ф(t)*В (3.31)- матрицей монограмм. Она определяется фундаментальной матрицей системы(1.31), которая находится неоднозначно.
Пусть Ф1(t) есть какая-либо другая фундаментальная матрица системы(1.31). На ее основе определяем другую матрицу монограммии в виде Ф1(t+ )=Ф1(t)*B,
Кроме того учтем связь между двумя фундаментальными матрицами системы (1.31) в виде Ф1(t)=Ф(t)*S, dtS , .
Сравнивая последнее соотношение (3.31) получаем, что В=SB1S-1, где S-1- матрица обратная к матрице S, таким образом мы получим, что все матрицы монограммии системы(1.31) подобны между собой. Отметим, что иногда матрицу монограммии – матрицу, которая определяется нормированной при t фундаментальной матрицей Ф(t) системы(1.31) (0)= . Тогда на основании соотношения (3.31) получаем, что В= (
Рассмотрим собственные числа матрицы монограммии, они называются мультипликаторами системы(1.31).
Кроме того собственные числа постоянной матрицы R из теоремы 1.31 называются характеристическими показателями системы(1.31).
Из определения постоянной матрицы R имеем, что , j= .При этом простым мультипликатором соответствуют простые характеристические показатели, а кратным мультипликатором соответствуют характеристические показатели с элементарными делителями той же кратности.
Отметим также, что характеристические показатели определены с точностью до слагаемого
На основание формулы (4.31) и формулы Лиувиля - Остроградского получаем, что определитель матрицы В:
detВ=exp .
На основание последнего соотношения получаем, что
(5.31).
Заметим, что название мультипликатор(множитель) объясняется следующим утверждением.
Теорема2.31. Число является мультипликатором системы(1.31) тогда и только тогда, когда существует ненулевое решение этой системы такое, что .
Следствие 1.31. Для того чтобы система (1.31) имела хотя бы одно нетривиальное периодическое решение необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из его мультипликаторов был равен 1.
Из формулы (2.31) вытекает, что фундаментальная матрица система (1.31)представляет собой произведение не особой матрицы G(t) на фундаментальную матрицу с постоянными коэффициентами. Поэтому можно ожидать, что преобразование X=G(t)*y (8.31) переводит систему (1.31) в систему (8.31).В самом деле на основании формулы(8.31) получаем (9.31). Так как G=Ф(t)*e-tR,то получаем
Подставляя последнее выражение в формулу (9.31) получаем систему
Таким образом мы получаем следующее утверждение.
Теорема3.31. Существует линейная замена переменных (8.31), где G(t) есть не особая гладкая периодическая матрица переводящая систему(1.31) в линейную систему с постоянной матрицей коэффициентов собственные числа которой есть характеристические показатели системы(1.31).
Данное свойство системы (1.31)- приводимостью.