25. Линейные дифференциальные уравнения порядка n с переменными коэффициентами

Опр. Линейным дифференциальным уравнением порядка n будем называть уравнение вида

(1)

Где функции - непрерывны на отрезке [a;b], при этом известные функции называются коэффициентами уравнения (1),а заданная функция f(x) – правой частью уравнения (1).

Опр. Если в уравнении (1) функция на [a;b],то данное уравнение называют линейным однородным. В противном случае уравнение (1) называют неоднородным линейным.

В дальнейшем будем считать, что коэффициенты уравнения (1) и его правая часть могут принимать вообще говоря комплексные значения

Опр. Комплекснозначную функцию y=f(x) будем называть решением уравнения (1) на [a;b],если она n-раз непрерывно дифференцируема на [a;b] и обращает данное уравнение в верное тождество.

Непосредственным образом проверяются следующее утверждение:

Лемма1 (принцип суперпозиции для уравнения (1) ) Если и есть решение уравнения (1) при на [a;b] , , то функция есть решение уравнения (1) .

Следствие1. Если и есть решения линейного однородного уравнения, - произвольные числа (постоянные), то их линейная комбинация также является решением исходного линейного однородного уравнения.

Решение уравнения (1) всегда можно свести к решению линейной системы дифференциальных уравнений порядка n (2),

где

Лемма2 Уравнение (1) эквивалентно системе (2) .

Доказательство осуществляется на основании замены есть решение уравнения (1).

Данная лемма позволяет перенести все результаты для линейных систем на случай линейного уравнения (1)

Рассмотрим для дифференциального уравнения (1) начальные условия

(3) -есть заданные числа

Теорема 1 Пусть все функции -непрерывны на и пусть точка .Тогда при произвольных начальных значениях решение задачи Коши (1) ,(3) существует и единственно на всем отрезке .

Доказательство: выполним замену .В результате этой замены уравнение (1) сводится к системе (2).При этом начальные условия (3) примут вид

(4) ,где . В силу леммы 2 задача Коши (1) и (3) эквивалентно задачи Коши (2) и (4).

В силу условий теоремы 1 матрицы А(х),F(x) –непрерывны на .

Согласно соответствующей теоремы для линейной системы решение задачи Коши (2),(4) существует и единственно на .

Поэтому и решение задачи Коши (1),(3) существует и единственно на .

Следствие 2 Задача Коши (5)

(6)

Где функции -непрерывны на имеет единственное решение

.

Доказательство: В самом деле тождественный нуль на есть решение задачи Коши (5),(6),а оно единственно в силу теоремы 1.

Отметим , что в отличии от нелинейного уравнения теорема 1 гарантирует существование и единственность решения задачи Коши (1),(3) глобальна(т.е. на всем ).

26. Линейные однородные д.У. Порядка n.

Рассмотрим лин. однородное д.у. порядка n

(1), где непрерывны на .

f(x)

Опр.1 Решение уравнения (1) будем наз. линейно зависимым на существуют такие числа одновременно неравные нулю и при этом имеет место неравенство , в противном случае решение будет наз. линейно независимым на

Лемма 1. Решения уравнения (1) линейно зависимы на тогда и только тогда, когда соответствующее им решение системы , эквивалентной уравнению (1) линейно зависимы на ( при этом вектор в столбце ).

следствие 1.решение уравн. (1) линейно независимы тогда и только тогда когда лин. нез. на этом отрезке соответствующие векторные решения системы (2).

Опр.2. совокупность произвольных n линейно независимых решений уравнения (1) на будем наз. Фундаментальной системой решений этого уравнения.

Лемма 2. Решения образуют фундаментальную систему решений уравнения (1) тогда и только тогда когда вектор-функции компанентами , образуют фундаментальную систему решений линейной однородной системы (2).

qсистемы переж. фундам. сис-му лин. уравнений.

Теорема 1. Для уравн. (1)существует бесконечное мн-во фундаментальных систем решений.

Теорема 2. Если eсть фундаментальная сис-ма решений диф.ур.(1) , то любое решение y(x) этого уравнения представима в виде y(x) = (3), где есть некоторые постоянные.

Опр. 3. Функция вида (3), где есть фундаментальная система решений уравн. (1), а произвольные параметры наз. Общим реш. Уравн. (1).

Опр.4. Определителем Вронского(Вранскианом)решений уравн. (1) будем наз. определитель n-го порядка

(4)

Данный определитель будем обозначать символом W(x) или W .

Теорема 3. Решение уравнения (1) линейно зависимы тогда и только тогда , когда W(x) на . Решение лин. нез. на тогда и только тогда, когда W(x) .

Теорема 4. Пусть W(x) есть определитель Вронского реш. уравнения (1) и точка , тогда для всех справедлива формула Лиувиля Остраградского:

(5)

Док-во данной теоремы вытекает из формулы (5) для системы (2).