27.Линейные неоднородные уравнения порядка n.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка (1)

где  —непрерывные на [α,β] функции.

Вместе с ур.(1) рассмотрим соответствующее ему линейное однородное ур. (2).

Т.1: Пусть есть какое-либо решение уравнения (1) и . Тогда y(x) является решением уравнения (1) тогда и только тогда, когда z(x) есть решение уравнения (2).

Из Т.1 вытекает, что если известна фундаментальная система решений однородного уравнения (2), то функция (4), где - произвольные параметры, а - частное решение неоднородного уравнения (1), является общим решением дифф.ур. (1).

Покажем , как можно в этом случае при найти решение неоднородного уравнения (1) удовлетворяющее нулевым начальным условиям (5).

Пусть K(x) есть решение однородного ур. (2) удовлетворяющее начальным условиям (6).

Построим K(x). Если есть ФСР ур. (2), то в силу фор.(3) имеем . Подставим K(x) в начальные условия (6). Разрешая полученную систему находим, что , где - определитель Вронского системы функций в точке , а - алгебраическое дополнение элемента в определителе . Получаем (7).

Т.2: Функция , где является частным решением дифф.ур. (1) удовлетворяющим нулевым начальным условиям (5).

28. Линейные однородные дифференциальные уравнения n порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим линейное однородное д.у. n порядка с постоянными коэффициентами (1.25). Здесь , ј= есть вещественные числа. Введем символический оператор , который обозначает дифференцирование по переменной x. При этом представим производные как степени оператора . Будем считать, что при ј=0 степень данного оператора равна самой фу-ии (1.25). Левую часть можно записать в виде +…+ , где = . Очевидно, что есть многочлен степени n от оператора p. Это позволяет вместо д.у. 1.25. записывать операторное ура-ие (2.25). Будем искать частные решения д.у. 1. 25. В виде (3.25). Подставляя фу-ию 3.25. получаем, что = =0. Отсюда видно, что λ является корнем алгебраического ура-ия (4.25), то фу-ия 3.25 есть решение д.у. 1.25

Рассмотрим сначала случай, когда все корни 4.25 веще-ые и различные. Им соответ. n- решений ,

Непосредственным вычислениям убеждаемся, что данные фун-ии образуют фунд. Си-му решений ура-ия 1.25. Тогда общее решение исходного ура-ия 1.25 имеет вид +…+ (5.25), где – есть произвольная постоянная.

Пусть все корни харак. Ура-ия различны, но среди них есть комплексные. Тогда с учетом того, что коэфф-ты хар. ура-ия вещественны, приходим к выводу, что комплексные корни входят парами вида: , . Для комплексного корня ,комплексно значную фу-ию вещественного аргумента (6.25). Непосредственной проверкой убеждается, что данная фу-ия является решением ур-ия (1.25). Аналогичным образом приходим к выводу, что фу-ия = (7.25) также является решением ур-ия (1.25). Решение однородного ур-ия (1.25) обладают свойством линейности, поэтому вещественные фу-ии

, (9.25)

Так как частная , то данное решение является линейно-незав. Таким образом мы получили m-пар комплексно-сопряженных корней , хар. ур-ия 4.25 и n-2m различных вещественных корней , данного хар. ур-ия. Таким образом лбщее решение исходного ур-ия имеет вид (10.25)

Рассмотрим теперь случай кратных корней хар. ур-ия. Непосредственными вычислениями на основании мат. индукции можно получить формулу сдвига

(11.25).

В частности, когда многочлен L(p) представляет собой степень :

(12.25)

Рассмотрим сначало случай, когда λ есть веще-ый корень кратности k хар. ура-ия. Тогда имеет место цепочка соотношений:

Покажем, что ему соответствует ровно k линейно независимых решений.

Подставим данный k-решений в ура-ие 2.25 и применим формулу сдвига 11.25. В результате получаем соотношение

(13.25)

Где (14.25).

Полагая, что в полученной формуле р=0 получаем, что

Далее последовательно дифференцируя по р соотношение 14.25 и полагая, получим соотношение р=0, получаем след. формулы

Тогда, на основании формулы 14.25 получаем, что . Так как r<k отсюда следует

В итоге, из соотношения 13.25 получаем, что

Это означает, что фу-ия является решением ура-ия 2.25 В итоге приходим к выводу, что каждому вещественному корню кратности линейно независимых частных решений исходного д.у. и при этом таким образом мы получаем на основании данных корня равно n-функций, образующих фундаментальную си-му решений ура-ия 2.25. Поэтому в данном случае общее решение исходног д.у. имеет вид.

+ …+ .