36. Доказать принцип возможных перемещений.

Рассмотрим механическую систему из n материальных точек.

Под равновесием системы понимают состояние покоя по отношению к выбранной системе отсчета. Для равновесия механической системы необходимо и достаточно, чтобы , где

так и внутренние

Теорема: принцип возможных перемещений.

Для равновесия мех. сист., с идеально удерживаемыми стационарными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма работ всех активных сил на любом возможном перемещении системы и нормальные скорости системы «=0»

Пусть механическая система находиться в равновесии в данное мгновение, дадим точкам системы линейное перемещение, умножив уравнение (1) на возможное скалярное перемещение и сложим: (5)

Из (4) и (5) следует (3)

Доказательство достаточного признака: приложим к точкам покоящейся механической сист. активные силы удовлетворяющие условию (3), докажем, что система в покое

Допустим противоположное, что точки системы получили ускорение эти ускорения будут направлены по касательным к траекториям точек, т.к. начальная скорость =0 и ускорение не будет. По условию связи стационарные, следовательно действующие перемещения колинеарно совпадают с возможными. Примем

По условию выполняется (3) и (5)-(4)

По 2 закону Ньютона: следовательно =0 из этого следует, что ускорение точки=0,поэтому система будет в покое.

Вместо возможного перемещения часто удобнее использовать возможные скорости =0

37. Получить общее уравнение динамики.

Рассмотрим механическую систему из n материальных точек. На систему наложены идеальные связи. Ур-ие движения имеет вид: , где Fk- равнодействующая всех активных сил, Nk – равнодействующая сил реакции связи.

В данный момент времени дадим точкам системы возможные перемещения . Умножим каждое из ур-ий (1) скалярно на и сложим все полученные уравнения: ; ; ; ;

38. Обобщённые координаты и обобщённые силы.

ОБОБЩЁННЫЕ КООРДИНАТЫ      

независимые параметры qi (i=1, 2, ..., s) любой размерности, число к-рых равно числу s степеней свободы механич. системы и к-рые однозначно определяют положение системы. Закон движения системы в О. к. даётся s ур-ниями вида qi=qi(t), где t — время. О. к. пользуются при решении мн. задач, особенно когда система подчинена связям, налагающим ограничения на её движение. При этом значительно уменьшается число ур-ний, описывающих движение системы, по сравнению, напр., с ур-ниями в декартовых координатах (см. ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ). В системах с бесконечно большим числом степеней свободы (сплошные среды, физ. поля) О. к. являются особые функции пространственных координат и времени, наз. потенциалами, волн. функциями и т. п.

Обобщённые силы

величины, играющие роль обычных сил, когда при изучении равновесия или движения механической системы её положение определяется обобщёнными координатами (См. Обобщённые координаты). Число О. с. равно числу s степеней свободы системы; при этом каждой обобщённой координате q_i соответствует своя О. с. Q_i. Значение О. с. Q_i, соответствующей координате q_i, можно найти, вычислив элементарную работу δA₁ всех сил на возможном перемещении системы, при котором изменяется только координата q_i, получая приращениеδq₁. Тогда δA₁ = Q₁δq₁, т.е. коэффициент при δq_i в выражении δA₁ и будет О. с. Q₁. Аналогично вычисляются Q₂, Q₃,..., Q_s. Например, если для лебёдки (рис.) вместе с поднимаемым ею на тросе грузом весом Р (система с одной степенью свободы) принять за обобщённую координату q_i угол φ поворота вала лебёдки и если к валу приложены вращающий момент М_вр и момент сил трения М_тр, то в данном случаеδA₁ = (М_вр—М_тр—Pr)δφ, где r — радиус вала (весом троса пренебрегаем). Следовательно, для этой системы О. с., соответствующей координате j, будет Q₁ =М_вр—М_тр—Pr.

Размерность О. с. зависит от размерности обобщённой координаты. Если размерность q_i — длина, то Q_i имеет размерность обычной силы; если q_i — угол, то Q_i имеет размерность момента силы (См. Момент силы) и т.д. При изучении движения механической системы О. с. входят вместо обычных сил в Лагранжа уравнения механики, а при равновесии все О. с. равны нулю. Например, для рассмотренной выше лебёдки при равномерном подъёме груза должно быть Q_i = 0, т. е. М_вр = М_тр + Pr.