- •Сформулировать основные законы механики (законы Ньютона).
- •Сформулировать две основные задачи динамики материальной точки и изложить методы их решения.
- •Записать дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на декартовы оси и на оси естественного трёхгранника.
- •Дать определения материальной точке, механической системы, геометрически неизменяемой механической системы и абсолютно твёрдого тела.
- •Записать дифференциальные уравнения движения точек механической системы. Дать определение внешних и внутренних сил.
- •Получить основные свойства внутренних сил механической системы.
- •Дать определение центра масс механической системы.
- •Дать определение и указать способ вычисления количества движения механической системы.
- •Доказать теорему об изменении количества движения механической системы.
- •Доказать теорему о движении центра масс механической системы.
- •Дать определение момента количества движения материальной точки и механической системы относительно центра.
- •Доказать теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) механической системы относительно неподвижного центра (неподвижной оси).
- •Дать определение кинетической энергии материальной точки и механической системы.
- •Дать определения мощности силы, элементарной работы силы и работы силы на конечном перемещении.
- •Доказать теорему об изменении кинетической энергии механической системы.
- •Получить закон сохранения полной механической энергии.
- •Получить дифференциальные уравнения поступательного движения твёрдого тела.
- •Получить дифференциальное уравнение вращательного движения твёрдого тела.
- •Получить дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твёрдого тела.
- •Вычислить кинетическую энергию при поступательном и вращательном движениях твёрдого тела.
- •Вычислить кинетическую энергию при плоскопараллельном движении твёрдого тела.
- •Рассмотреть классификацию связей.
- •Дать определения возможных скоростей и возможных перемещений материальной точки и механической системы.
- •Доказать принцип возможных перемещений.
- •Получить общее уравнение динамики.
- •Обобщённые координаты и обобщённые силы.
- •Записать уравнения Лагранжа 2-го рода. Привести пример составления этих уравнений.
Доказать теорему об изменении кинетической энергии механической системы.
Умножим каждое из диф. ур-ий движения скалярно на скорость точки и сложим все получившиеся уравнения ; , меняя порядок суммирования и дифференцирования получаем теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме.
(1)
Интегрируя уравнение (2) на некотором конечном перемещении системы получаем теорему об изменении Кинетической энергии в интегральной форме.
, пусть все внешние и внутренние силы системы – потенциальные. -потенциальная энергия внешних сил поля.
(4) ; ; E= – полная мех энергия. Получаем ЗС полной мех энергии. Если все внешние и внутренние силы потенциальны, полная мех энергия системы сохраняется.
Вычислить работу силы тяжести.
; h=|z2-z1|
Вычислить работу упругой силы.
;
Вычислить работу вращающего момента.
Доказать, что суммарная мощность всех внутренних сил геометрически неизменяемой механической системы равна нулю.
=
Как видно внутренние силы могут совершать работу только в том случае когда изменяется расстояние между точками, то есть происходит деформация. В геометрически неизменяемой мех системе А.Т.Т. сумма работ всех внутренних сил на любом перемещении системы равна «0».
Дать определение потенциального силового поля. Указать способ вычисления работы потенциальных сил.
Силовое поле – область, в каждой точке которой на помещенную в ней матер.точку действует сила, однозначно определенная по величине и направлению в любой момент времени, т.е. должно быть известна . Нестационарное силовое поле, если явно зависит от t, стационарное силовое поле, если сила не зависит от времени. Рассматриваются стационарные силовые поля, когда сила зависит только от положения точки: и Fx=Fx(x,y,z) и т.д. Свойства стационар. силовых полей:
Работа сил стац. поля зависит в общем случае от начального М1 и конечного М2 положений и траектории, но не зависит от закона движения матер. точки.
Имеет место равенство А2,1= – А1,2. Для нестационарных полей эти свойства на выполняются.
Примеры: поле силы тяжести, электростатическое поле, поле силы упругости.
Стационарные силовые поля, работа сил которых не зависит от траектории (пути) движения матер. точки и определяется только ее начальным и конечным положениями назыв. потенциальными (консервативными). , где I и II – любые пути, А1,2 – общее значение работы. В потенциальных силовых полях существует такая функция, однозначно зависящая от координат точек системы, через которую проекции силы на координатные оси в каждой точке поля выражаются так:
. Функция U=U(x1,y1,z1,x2,y2,z2,…xn,yn,zn) назыв. силовой функцией.
Получить закон сохранения полной механической энергии.
Т + П = const. Если система движется под действием потенциальных сил, то сумма кинетической и потенциальной энергий сохраняет постоянное значение. (Т + П — интеграл энергии). Потенциальные силы – силы, работа которых не зависит от вида траектории, по которой перемещается точка (пр.: сила тяжести, сила упругости) Непотенциальные – напр.: силы трения.
Закон сохранения механической энергии может быть выведен из второго закона Ньютона, если учесть, что в консервативной системе все силы, действующие на тело, потенциальны и, следовательно, могут быть представлены в виде
,
где — потенциальная энергия материальной точки ( — радиус-вектор точки пространства). В этом случае второй закон Ньютона для одной частицы имеет вид
,
где m — масса частицы, — вектор её скорости. Скалярно домножив обе части данного уравнения на скорость частицы и приняв во внимание, что , можно получить
Путём элементарных операций это выражение может быть приведено к следующему виду
Отсюда непосредственно следует, что выражение, стоящее под знаком дифференцирования по времени, сохраняется. Это выражение и называется механической энергией материальной точки. Первый член в сумме отвечает кинетической энергии, второй — потенциальной.
Этот вывод может быть легко обобщён на систему материальных точек.