2. Эффекты реактивностей. Доплер-эффект.

Значение к_эфф или реактивности реактора в большей или меньшй степени зависит практически от всех его технологических параметров - температуры, давления, мощности, расхода теплоносителя, положения органов регулирования в активной зоне и др.

Анализируя зависимости реактивности от различных параметров уместно задать вопрос, а почему реактивность зависит от технологических параметров. Для прояснени этого вопроса запишем хотя бы в простейшем виде алгоритм вычисления эффективного коэффициента размножения.

Эффективный коэффициент размножения реактора и, следовательно, его реактивность, как было показано раньше, определяется отношением скорости рождения нейтронов в реакторе к скорости их исчезновения, что, в частности, можно выразить следующим образом:

, (3.1)

где Y - учитывает утечку нейтронов из реактора, а остальные обозначения общепринятые.

Из (3.1) следует, что эффекиивный коэффициент размножения зависит от спектрального распределения нейтронов (r,Е), от распределения материалов в реакторе _I(r), от микроскопических сечений материалов _fⁱ, _aⁱ, от утечки нейтронов Y, которая в свою очередь зависит от размеров и состава реактора.

Пусть происходит изменение температуры реактора. Как реактор «узнает», что происходит изменение температуры, как это будет влиять на реактивность?

При изменениях температуры будут происходить изменения плотности ядер и размеров реактора и, следовательно, утечка нейтронов. Будет изменяться спектр нейтронов, как минимум в тепловой и резонансной областях энергий . В силу различных температурных коэффициентов расширения материалов будет происходить изменение состава реактора, который определяется значениями _i(r,Т). В резонансной области будут изменяться средние микроскопические сечения. Даже на интуитивном уровне, рассматривая соотношение (3.1), ясно, что можно связать изменения к_эфф или реактивность реактора с температурой. В то же время ясно, что эти связи могут оказаться очень сложными, и вряд ли их можно будет представить в простых аналитических выражениях, если, например, температура является сложной функцией координат реактора.

Важно, что изменения температуры будут непосредственно влиять на реактивность и это влияние будет происходить мгновенно.

Связь между температурой и реактивностью количественно характеризуют либо температурным коэффициентом реактивности (ТКР, d/dT), либо температурным эффектом реактивности (ТЭР). ТКР - это производная зависимости реактивности от температуры, или отношение приращения реактивности при единичном изменении температуры и постоянстве всех остальных характеристик реактора. В общем случае ТКР может зависеть от температуры и других характеристик реактора.

ТЭР - это изменение реактивности при изменении температуры в заданных интервалах.

Очевидно, что ТКР и ТЭР связаны между собой следующим соотношением:

(3.2)

Значения и ТЭР и ТКР будут зависеть от того, каким образом изменяется температура активной зоны реактора. Иногда, говоря о температурных эффектах и коэффициентах реактивности, предполагают, что температура во всех точках реактора одинакова и приращение температуры происходит на одно и то же значение по всему реактору. На практике требуется какое-то время для установления во всем реакторе нового значения температуры. В таком случае обсуждаемые температурные зависимости часто называют асимптотическими.

ТКР можно рассматривать, предполагая, что происходит изменение только температуры топлива, или температуры теплоносителя и т.п. при неизменных температурах остальных областей реактора. Таким образом определенные температурные коэффициенты реактивности называют, например, температурный коэффициент реактивности по температуре топлива. Такие ТКР могут быть рассчитаны теоретически и апробированы в специальных экспериментах.

Пусть происходит изменение давления внутри реактора. При изменениях давления происходит изменение плотности материалов. Это повлияет на состав реактора, на макроскопические сечения взаимодействия нейтронов с ядрами, и, следовательно, на реактивность. Влияние давления на реактивность будет непосредственным и мгновенным, реактивность будет следовать за давлением.

Коэффициент реактивности, обусловленный вариациями давления называют барометрическим коэффициентом реактивности, БКР, и определяют, как отношение приращение реактивности при единичном изменении давления, т.е. БКР=d/dP.

Столь же непосредтвенное влияние на реактивность будут оказывать механические смещения отдельных конструктивных составляющих, которые могут происходить в реакторе.

Реактивность реактора зависит от относительного расположения тепловыделяющих сборок (ТВС) и тепловыделяющих элементов (ТВЭЛы) в активной зоне реактора. Например, при работе на мощности происходит изгиб ТВС и ТВЭЛов (из-за перепадов температур, как в радиальном, так и аксиальном направлениях), поэтому изменяются размеры активной зоны и, следовательно, реактивность. Геометрия активной зоны, как оказывается, может зависеть от расхода теплоносителя (оборотов циркуляционных насосов). В частности, в реакторах на быстрых нейтронах в силу их конструкционных особенностей при включении циркуляционных насосов верхние концы ТВС стремятся "отойти" друг от друга, что приводит к увеличению диаметра активной зоны в верхней ее части и, опять же к изменению реактивности.

Перечисленные "первопричины" изменения реактивности - температура, давление и механические смещения (изменения размеров и конфигурации) возникают в различных масштабах по сути дела при вариациях любых технологических параметров. Но коль скоро произошли изменения температуры, давления и расположения составляющих активной зоны, то следует мгновенное изменение реактивности. Следует отметить, что рассмотренные коэффициенты реактивности предполагаются частными производными реактивности по температуре, давлению или механическим смещениям. Другими словами, рассматривается приращение реактивности при единичном изменении, например, температуры при неизменных всех остальных параметрах и характеристик активной зоны.

Рассмотрим влияния на реактивность других технологических параметров.

Влияет ли мощность реактора на реактивность? Непосредственно, как следует из приведенного соотношения (3.1), мощность не влияет на реактивность. Действительно, и в числителе и в знаменателе (3.1) есть плотности потока нейтронов, которые пропорциональны мощности реактора. Увеличения плотности потока нейтронов при росте мощности увеличивается и в числителе и в знаменателе одинаковым образом, поэтому нет влияния на эффективный коэффициент размножения. В этом можно убедиться, рассматривая реактивность реактора при изменениях мощности в интервале менее десятых долей Вт: например, десятикратный рост мощности от сотых до десятых долей Вт не скажется на реактивности. При таких значениях мощностей не будет заметного изменения температуры и поэтому ни плотность материалов, ни сечения, ни размеры реактора в заданных условиях не реагируют на изменение мощности, реактор в целом не «видит» изменений мощности. Но при таких уровнях мощностей, когда выделяемая в процессе делений энергия окажет влияние на температуру, на давление, на смещения отдельных элементов активной зоны или изменения их формы будет происходить изменения реактивности. Но изменения реактивности не будут мгновенно реагировать на вариации мощности, поскольку температура при росте (падении) мощности не может изменяться мгновенно, поскольку приращение температуры является интегралом от приращения мощности.

Определим мощностной коэффициент реактивности (МКР), как производную зависимости реактивности от мощности реактора, т.е. МКР=d/dw. Мощностной эффект реактивности (МЭР) определим, как приращение реактивности при изменении мощности в заданном интервале. Очевидно из определения, что:

(3.3)

Попытаемся измерить МКР и МЭР. Для этого мгновенно введем в реактор на мощности w_o небольшую положительную реактивность _o и проследить за изменением мощности во времени.

На рисунке 3.1 приведены рассчитанные зависимости мощности от времени w(t) при мгновенном введении положительной реактивности для двух значений теплоемкости – большой и малой. Предполагалось, что при росте мощности растет только температура топлива и температурный коэффициент реактивности по температуре топлива отрицательный.

(а) (б)

Рис. 3.1. Зависимость мощности от времени при введении в реактор положительной реактивности. В случае (а) теплоемкость всей активной зоны в 7 раз меньше в сравнении со случаем (б).

Из приведенных рисунков следует, что мощностной коэффициент реактивности, который определяется, как отношение приращения реактивности к приращению мощности зависит от времени и даже в случае (б) может иметь разные знаки.

Реактор через какое-то время после введения реактивности вновь оказывается в стационарном состоянии на новом уровне мощности w₁. В таком случае можно говорить об асимптотическом (во времени) значении МКР, который и будет определяться отношением величины введенной реактивности _о к наблюденному приращению мощности (w_o – w₁).

В таком случае МКР будет иметь отрицательный знак: при введении положительной реактивности произойдет приращение мощности и, поскольку реактор оказался вновь в стационарном состоянии, то его реактивность стала нулевой. Введенная положительная реактивность была скомпенсирована приращением мощности, умноженной на отрицательный коэффициент реактивности. Впрочем, это ясно и из определения МКР = _о /(w_o – w₁) < 0. Если _о >0, то (w_o – w₁) <0; если _o < 0, (w_o – w₁) > 0.

При положительном значении (МКР>0) эксперимент по определению МКР становится очень сложным и опасным и, вообще говоря, бессмысленным, поскольку введенная положительная реактивность приведет к росту мощности, а рост мощности будет добавлять положительную реактивность. Более того, правилами ядерной безопасности запрещаются реакторы, у которых оказывается положительная обратная связь по мощности. Этот вопрос будет более подробно рассматриваться в разделе 5 данного учебного пособия.

Описанный вариант измерения МКР (или МЭР) предполагает, что принимаются во внимание воздействия на реактивность изменения температур всех частей реактора, воздействие на реактивность изменение давления и т.д. При этом изменения температур рзаных частей реактора и давлений связаны однозначно с измененими мощности. Поэтому можно записать следующее соотношение между МКР, коэффициентами реактивности _i по параметру р_i и связями параметра р_i с мощностью f_i(w).

(3.4)

Заметим, что для определения МКР по сумме других коэффициентов реактивности по параметрам, зависящим от мощности, реализуется в асимптотике по времени*⁾.

Проведенное рассмотрение показало, что мощность при мгновенном введении положительной (или отрицательной) реактивности не изменяется мгновенно. Форма временной зависимости мощности определяется теплоемкостью реактора в целом или теплоемкостью отдельных его частей (топливо, замедлитель, теплоноситель). Если теплоемкость велика, то температура будет «отставать» от мощности, т.е. компенсация введенной положительной реактивности будет «растянута» во времени. А это значит, что мощность может вырасти до более значимых значений. В таком случае возможны не только выбег мощности, но и затухающие колебания мощности (рис.3.1,б). Если же теплоемкость мала, то временная зависимость мощности будет гладкой и установление асимптотического уровня мощности будет происходить достаточно быстро. Приведенные рассуждения показывают, что можно говорить тоько об асимптотическом МКР. Либо надо принимать во внимание, что МКР является функцией времени, т.е. [dw/dt](t).

-----------------------------------------------------------------------------

*⁾ Определенный по (3.4) МКР требует обязательно пояснений. Например, в некоторых работах полагают, что МКР не включает эффекты реактивности, связанные с изменением подогрева теплоносителя и изменениями входной температуры теплоносителя первого контура. В некоторых работах полагают, что МКР – это температурный коэффициент реактивности по температуре топлива и т.п.

--------------------------------------------------------------------------------

Влияет ли расход теплоносителя на реактивность реактора? В данном случае влияние расхода на реактивность можно разделить на непосредственное (происходящее мгновенно с изменением давления) и на запаздывающее. В результате изменения расхода теплоносителя изменятся давление в теплоносителе, которое влияет на макроскопические сечения и на положение тепловыделяющих сборок в активной зоне реактора и эти явления непосредственно влияют на реактивность. Эти влияния достаточно слабые, как показано в экспериментах, описанных в разделе 4. Уменьшение расхода теплоносителя реактора, работающего на мощности, приводит к росту температуры теплоносителя, что происходит с задержкой во времени. Поэтому влияние расхода теплоносителя на реактивность оказывается также зависит от нескольких эффектов, которые по разному реализуются во времени.

ДОПЛЕР-ЭФФЕКТ

Прямые эксперименты указывают на то, что сечение поглощения нейтронов в резонансной об-

ласти энергий явно зависит от температуры. Если, например, на пути пучка нейтронов установить образец ²³⁸U и измерять количество захватов нейтронов ядрами образца, регистрируя сопровождающее радиационный захват гамма-излучение, то при увеличении температуры образца возрастает количество регистрируемого гамма-излучения. Другими словами, при росте температуры увеличивается вероятность поглощения нейтронов, т.е. увеличивается среднее сечение радиационного захвата. Этот эффект называют Доплер-эффектом. Такой эффект наблюдается только для «толстых» образцов, для которых существенным оказывается блокировка сечений. Для «тонких» образцов этот эффект оказывается пренебрежимым.

Доплер-эффект - cоставляющая ТКР₃ или d₃/dT, объясняется, как будет показано далее, изменением формы резонансов (уширение резонансов при росте температуры среды) в сечениях взаимодействия нейтронов с ядрами. Как известно из разделов ядерной и нейтронной физики, зависимость сечения взаимодействия нейтрона с неподвижным ядром вблизи резонансной энергии (при этом энергия нейтрона в сумме с энергией связи его в ядре близка к энергии одного из уровней возбужденного состояния ядра) описывается формулой Брейта-Вигнера. Вид этой формулы для сечения радиационного захвата приведена ниже:

, (3.29)

где - сечение радиационного захвата при резонансной энергии (в максимуме резонанса), т.е. при Е_n=Е₀; Г - полная ширина уровня составного ядра при его возбуждении нейтроном с энергией Е₀.

Зависимость сечения от энергии для изолированного (отдельного) резонанса показана на рис.3.4.

Рис.3.4. Зависимость относительного значения сечения поглощения (E_n)/(E_o) от энергии нейтронов, выраженной в относительных единицах E_n/Е_о.

Обратим внимание на то, что при энергиях нейтронов малых по сравнению с резонансной (E_n/Е_о << 1), знаменатель в (3.29) оказывается постоянной величиной и сечение радиационного захвата оказывается обратно пропорциональным скорости нейтронов, т.е. (Е_о­/Е_n)^1/2.

Вклад в сечения при низких энергиях (когда энергия нейтрона менее энергии первого резонанса) суммируется от всех резонансов. Поэтому для подавляющего большинства ядер вблизи тепловых энергий сечение поглощения оказывается обратно пропорционально скорости нейтронов.

Когда же энергия нейтрона значительно больше резонансной энергии нейтронов (E_n/Е_о >>1) и намного превышает полную ширину уровня возбужденного состояния ядра, то сечение радиационного захвата обратно пропорционально скорости нейтрона в степени 5/2 (это легко получить из формулы 3.29). Последнее обстоятельство объясняет, почему сечение радиационного захвата нейтронов для всех ядер быстро спадает с ростом энергии нейтронов (после резонансной области энергий). Например, при энергии 0,025 эВ сечение радиационного захвата нейтронов ядрами ²³⁵U равно 100 барн, а при энергии 1,1МэВ всего лишь 0,12 барн. Для ядер ²³⁹Pu это различие еще более впечатляющее и соответствующие сечения равны 290 барн и 0,06 барн.

Энергия взаимодействия нейтрона с ядром равна кинетической энергии нейтрона (Е_n в формуле 3.29) только в случае его взаимодействия с неподвижным ядром. Энергия взаимодействия нейтрона с движущимся ядром - это энергия относительного движения нейтрона и ядра, т.е. энергия нейтрона в системе центра масс, Е*. Именно это значение энергии нейтрона определяет зависимость вероятности взаимодействия (сечения) от энергии. Значение Е* зависит не только от энергии нейтрона в лабораторной системе координат Е_n, но и от относительного направления движения ядра и нейтрона. Из курса механики известно, что Е*=m_nA(v+u)²/2(A+1). В этой записи v и u векторы скоростей нейтрона и ядра. Поэтому моноэнергетический (в лабораторной системе координат) поток нейтронов будет иметь "разные" энергии взаимодествия и, следовательно, разные вероятности взаимодействия с ядрами в зависимости от того под какими углами происходит столкновения нейтрона с ядром и какова энергия ядра. Например, если векторы скоростей v и u ортогональны, то Е*=Е_n. Наибольшее значение Е* приобретает при движении нейтрона и ядра навстречу друг другу. При этом энергия взаимодействия будет равна сумме кинетических энергий нейтрона E_n и ядра Е_А, т.е. Е* = Е_n + Е_А.

В соответствующих разделах нейтронной физики показано, что в системе центра масс энергия взаимодействия (энергия нейтрона Е*) моноэнергетических нейтронов с энергией Е_n (в лабораторной системе координат) с ядрами, имеющими энергию теплового движения кТ, имеет гауссово распределение, максимум которого расположен при энергии возбуждения численно совпадающей с энергией нейтрона в лабораторной системе координат:

, (3.30)

где Е* - энергия нейтрона в системе центра масс; =2[kTE_n/(1+A)]^1/2; kT - энергия теплового движения ядер среды с атомной массой А.

На первый взгляд кажется, что влияние теплового движения на резонансную область энергий должно быть несущественным. Однако значение  растет как корень квадратный из энергии и даже для тяжелых ядер с A=238 оказывается сравнимой с ширинами резонансов и при нормальных температурах. Например, при Т=293К и энергиях от 0.1эВ до 1кэВ значения  лежат в пределах от 6.5мэВ до 650мэВ. Средние значения ширин резонансов при этих энергиях для ²³⁵U составляют соответственно 33 мэВ и 40 мэВ. Для ²³⁸U при энергии первого резонанса (6.8эВ) значение  при температуре 293К составляет 53мэВ, а ширина резонанса - 25мэВ.

Следовательно, наблюдаемое при измерениях сечение взаимодействия нейтрона с энергией Е_n в лабораторной системе координат, совпадающее по энергии с положением резонанса Е₀, не будет совпадать с сечением , рассчитанным по формуле Брейта-Вигнера для случая неподвижных ядер (3.29). Наблюдаемое в опыте сечение можно рассчитать, принимая во внимание возможность реализации различных энергий взаимодействия (3.30) для нейтрона с определенной энергией в лабораторной системе координат. Для этого надо провести свертку распределений (3.29) и(3.30):

, (3.31)

где - формула Брейта-Вигнера (3.29), в которой энергия нейтрона Е_n заменена энергией взаимодействия Е*, (E_n ,E*, kT) – распределение энергий взаимодействия для моноэнергетических нейтронов с энергией Е_n с ядрами среды, имеющих среднюю энергию движения kТ.

Сопоставляя (3.31) и (3.29) можно сделать следующие выводы. Во-первых, ход сечения в функции энергии вблизи резонанса будет зависеть от температуры среды. Поэтому имеет смысл в зависимости сечения от энергии вблизи резонанса в качестве параметра указывать температуру среды, т.е. . Во-вторых, по мере роста температуры наблюдаемая ширина резонанса будет увеличиваться. В этом можно убедиться путем проведения расчетов, результаты которых приведены на рис.3.5, либо путем достаточно очевидных качественных соображений.

Рис.3.5. Наблюдаемая форма изолированного резонанса в зависимости от энергии теплового движения ядер, с которыми взаимодействуют нейтроны. Вблизи кривых указаны цифры, характеризующие энергию теплового движения ядер, Г/2=Г/4[kTE_n/(1+A)]^1/2. В частности, если принять во внимание параметры первого резонанса ²³⁸U (Г=0.027эВ, Е_о=6.8эВ), то температуре 293К будет соответствовать кривая с Г/2  0.3. При температуре 1200К Г/2  0.13 и зависимость сечения от энергии оказывается еще более сглаженной. По оси ординат отложены сечения взаимодействия, нормированные на сечение в максимуме при неподвижных ядрах (при температуре абсолютного нуля). По оси абсцисс отложены разность энергий нейтрона в лабораторной системе координат и энергии, при которой расположен резонанс, нормированные на полную ширину резонанса при нулевой температуре, т.е. (Е_о – Е_n )/Г.

Действительно, сечение взаимодействия при Е_n=Е₀ в соответствии с (3.29), т.е. в случае неподвижных ядер, равно . В тех же случаях, когда ядра среды имеют энергию kT, для расчета сечения взаимодействия нейтронов при энергии Е_n=Е₀ надо использовать (3.31). Как следует из приведенных соотношений, значение в этом случае будет меньше, поскольку оно будет получено путем усреднения сечений вблизи резонанса (т.е. вблизи наибольшего значения сечения) по (3.29) по распределению энергий нейтронов в системе центра масс, когда их энергия в лабораторной системе координат равна Е₀ т.е. по (3.30) при Е_n=Е₀. Очевидно, что в этом случае наблюдаемое сечение при энергии резонанса будет меньше, чем в случае неподвижных ядер. Такого типа рассуждения приводят к выводу, что распределение (3.31) будет иметь большую ширину и меньшую высоту в сравнении с (3.29). Главное – надо понять, что с ростом температуры происходит уширение резонанса или, другими словами, происходит изменение формы резонанса.

Интегрирование распределений сечений в зависимости от энергии при разных температурах показало, что площадь под резонансом не зависит от температуры, т.е.

(3.32)

Казалось бы, если площадь под резонансом не зависит от температуры, то и количество взаимодействий в этой резонансной области не будет зависеть от температуры. Однако это не так.

Рассмотрим, какое количество определенных реакций в единицу времени происходит в единице объема. Для этого надо знать плотность потока нейтронов и зависимость сечения данного взаимодействия от энергии нейтронов. В узком энергетическом интервале вблизи резонансной энергии искомое количество радиационных поглощений запишем в виде:

13.12.06.

= , (3.33)

где среднее сечение радиационного захвата вычисляется по следующему алгоритму:

,

а - интегральная плотность потока нейтронов в интервале E, которая вычисляется следующим образом

Заметим, что количество взаимодействий не будет зависеть от температуры, если плотность потока нейтронов в выбранном узком энергетическом интервале будет постоянной т.е. не будет зависеть от энергии. Это следует из (3.32).

Если же плотность потока нейтронов внутри выбранного энергетического интервала является функцией энергии нейтронов, то тогда количество взаимодействий будет зависеть от температуры, поскольку форма резонанса является функцией температуры.

А может ли спектральное распределение нейтронов в узком энергетическом интервале зависеть от энергии? Оказывается это возможно.

Зависимость плотности потока замедляющихся нейтронов от их энергии была получена Э.Ферми. Спектр Ферми - спектр замедляющихся в слабопоглощающей среде нейтронов, обратно пропорционален сечению взаимодействия нейтронов с ядрами и энергии нейтронов.

, (3.34)

где С - некоторая постоянная; _tt(E_n) - полное макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со всеми ядрами среды в функции энергии.

Нас интересует количество взаимодействий в узком энергетическом интервале, ширина которого сопоставима с ширинами резонансов Г. Ширины резонансов обычно намного меньше энергии резонанса. Поэтому для узкого энергетического интервала Е << E_n и спектральное распределение можно записать в следующем виде, пренебрегая изменением энергии на интервале Е:

(3.34а)

Эту же зависимость можно получить качественно. Действительно, количество нейтронов в заданном энергетическом интервале будет зависеть от их времени жизни в этом интервале. Время жизни нейтронов с заданной энергией будет определяться временем между двумя соударениями нейтрона с ядрами среды. Средний пробег между двумя соударениями – это величина обратно пропорциональная полному макроскопическому сечению взаимодействия нейтронов с ядрами. Следовательно время жизни между двумя соударениями будет обратно пропорционально произведению полного макроскопического сечения на скорость нейтрона v_n, т.е. 1/_ttv_n, а поскольку рассматривается узкий энергетический интервал, то можно считать скорость неизменной и энергетическую зависимость плотности потока нейтронов полагать обратно пропорциональной зависимости от энергии полного сечения взаимодействия нейтронов с ядрами. Такое качественное рассуждение справедливо для узкого энергетического интервала.

В состав активной зоны реактора входит много элементов. И в выбранном энергетическом интервале полное сечение взаимодействия будет являться суммой макроскопических сечений всех составляющих элементов активной зоны. Предположим, что среди элементов, входящих в состав активной зоны реактора, есть изотоп с резонансом в выбранном энергетическом интервале Е. Сечение взаимодействия этого нуклида с нейтронами будет существенно изменяться внутри интервла Е, а сечения взаимодействия остальных нуклидов, у которых нет резонансов в интервале Е, можно считать постоянными. Поэтому имеет смысл для дальнейшего анализа полное макроскопическое сечение в энергетическом интервале Е представить в виде следующей суммы:

, (3.35)

где _t(E_n) - полное макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов с ядрами, имеющими резонанс в выбранном энергетическом интервале; ₀ - полное макроскопическое сечение всех ядер (кроме ядер с резонансом в данном энергетическом интервале). ₀ не зависит от энергии в узком энергетическом интервале, и его называют сечением разбавления. Последнее утверждение справедливо, если остальные ядра не имеют резонансов в выделенном энергетическом интервале.

В таком случае спектральное распределение нейтронов в узком энергетическом интервале Е примет следующий вид:

(3.36)

Запишем (3.33) для двух предельных случаев. В одном будем полагать, что плотность ядер с резонансом мала по сравнению с плотностью других ядер, другими словами, будем считать, что ₀>>_t(E_n) и тогда плотность потока нейтронов внутри выбранного интервала постоянна, т.е. (Е_n)= Const. В другом случае будем считать, что плотность ядер с резонансом превышает плотность остальных ядер настолько, что ₀<<_t(E_n). Следовательно, в выбранном энергетическом интервале (E_n) = C/_t(E_n). В этом случае плотность потока нейтронов в интервале Е является функцией энергии нейтронов и будет зависеть от температуры, поскольку форма резонансного сечения является функцией температуры.

Вычислим среднее сечение (например) радиационного захватов нейтронов <_с(кТ)> для двух указанных выше случаев.

В первом случае, когда ₀>>_t(E_n) и Ф₁(Е_n) = С₁/₀= Const, среднее значения сечения определяется как и в (3.33):

, (3.37)

Количество радиационных захватов в единицу времени в единице объема можно вычислить, используя среднее значение счения и интегральную плотность потока нейтронов в выбранном энергетическом интервале:

(3.37а)

где

Таким образом, при единичноой плотности потока нейтронов в выбранном энергетическом интервале происходит количество взаимодействий, равное численно среднему сечению данной реакции в выбранном энергетическом интервале. При этом (напомним) среднее сечение вычисляется в предположении независящей от энергии функции усреднения, т.е. при постоянстве плотности потока нейтронов внутри интервала.

Во втором случае, когда ₀<<_t(E_n) и Ф₂(E_n) = C₂/_t(E_n), среднее сечение радиационного захвата получается усреднением резонансного сечения по плотности потока обратно пропорциональной зависимости сечения от энергии. И поскольку форма сечения резонансного взаимодействия нейтронов с ядрами зависит от температуры, то и плотность потока нейтронов в этом случае является функцией температуры.

Среднее сечение радиационного захвата во втором случае можно записать в следующем виде:

(3.38)

Примем во внимание, что в пределах резонанса отношение сечения радиационного захвата к полному сечению есть величина постоянная и равная отношению соответствующих ширин резонанса - радиационной и полной, которые не зависят от температуры, т.е. _с(Е_n,кТ)/_t(E_n, kT) = Г_/Г_n = Const. Умножим и разделим числитель и знаменатель (3,38) на Г_/Г_n , введем новую постоянную С₂ = С₁(Г_/Г_n) и заменим (Г_/Г_n)_t(E_n, kT) на _c(E_n, kT). Тогда получаем следующее соотношение для среднего сечения радиационного захвата:

(3.38а)

Количество радиационных захватов в единицу времени в единице объема для второго случая также можно вычислить. Используя среднее значение счения и интегральную плотность потока нейтронов:

(3.38б)

где

и

Итак, среднее сечение радиационного захвата нейтронов в первом случае будет равно среднему сечению в выбранном энергетическом интервале, усредненному по независящей от энергии плотности потока нейтронов.

Во втором случае среднее сечение радиационного захвата нейтронов оказывается обратно пропорционально среднему значению величины 1/_с(Е).

Очевидно, что среднее сечения какой-либо резонансной реакции будет иметь большее значение при усреднении по постоянной плотности потока нейтронов в пределах интервала Е, чем во втором случае, когда плотность потока (функция усреднения) минимальна при максимальных значениях резонансного сечения.

10.12.06.

Для уяснения приведенных формул для расчета сечений в первом и втором случаях рассмотрим модель зависимости резонансного сечения от энергия в простейшем варианте. Полагаем, что резонансное сечение представляет собой два прямоугольника: один с высотой _с(Е_о) и шириной Г, а второй высотой _с(Е_о) и шириной (Е – Г). На рисунке 3.4 пунктиром показана модель резонансного сечения.

В первом случае среднее сечение радиационного поглощения нейтронов в энергетическом интервале Е получают при плотности потока независящей от энергии и поэтому это среднее сечение будет очевидно равно

<_с(E)₁> = Г_с(Е_о)/Е + (Е – Г) _с(Е_о)/Е = (Г_с(Е_о)/Е)[(1 +(E/Г – 1)] (3.39)

Обратим внимание на то, что при изменениях температуры площадь под резонансом не изменяется, т.е. не изменяется произведение Г_с(Е_о), также и отношение /Г. (Когда увеличивается Г, то уменьшается сечение в максимуме резонанса и , следовательно увеличивается ). Поэтому в первом случае среднее сечение радиационного поглощения не зависит от температуры.

Во втором случае среднее сечение радиационного поглощения определяется в соответствие с формулой (3.38а). Найдем среднее значение обратной величины сечения. В области резонанса вклад в среднее значение <1/(E)> составляет Г/Е_с(Е_о), крылья резонанса вносят вклад (Е – Г)/Е_с(Е_о).

Искомое среднее значение сечения для второго случая получаем в виде:

<_с(E)₂> = 1/<1/(E)> = _с(Е_о)/[1 – Г(1-)/Е] (3.40)

Как и следовало ожидать, <_с(E)₁> > <_с(E)₂>, но только в тех случаях, когда  << Г/Е.

Насколько велико отличие средних сечений в рассмотренных двух предельных случаях проиллюстрируем на примере ²³⁸U. В энергетическом интервале 4.6эВ-10эВ у этого нуклида расположен сильный резонанс в сечении. Среднее сечение при отсутствии блокировки (сечение разбавления много больше резонансного сечения поглощения) составляет 170барн, а при отсутствии разбавителей (сечение разбавления пренебрежимо мало в сравнении с сечением резонансного поглощения) среднее сечение поглощения в этом энергетическом интервале всего лишь 5.8барн^.

Выясним, как будет зависеть среднее значение сечения при вариациях температуры, т.е. при изменениях ширины резонанса, но при сохранении площади под резонансом. Обозначим площадь под резонансом S = Г_с(Е_о). Тогда отношение сечения на крыльях резонанса _с к сечению в максимуме резонанса _с(Е_о) можно связать с шириной резонанса S (S не зависит от температуры)  = _с/_с(Е_о) = _сГ/S, и записать зависимость среднего сечения для второго случая от ширины резонанса Г (т.е. от температуры):

<_с(E,Г)₂> = _с/[1 – (1 - _cГ/S)Г/E] = _с/[1 – (1 - Г/E + _cГ²/SE)] (3.41)

Из (3.40а) следует, что при росте Г увеличивается значение среднего сечения, поскольку _сГ/S << 1.

Приведенные рассуждения позволяют сделать следующие выводы.

Первый вывод. Если в среде присутствуют резонансные поглотители, плотность ядер которых мала в сравнении с плотностью ядер других нуклидов, или точнее, когда сечение разбавления велико по сравнению с резонансными сечениями поглощения, то резонансное поглощение не будет зависеть от температуры среды, в которой находится резонансный поглотитель. Такая ситуация может реализоваться в реакторах на тепловых нейтронах с очень малой концентрацией урана, т.е. при высокообогащенном уране в виде соли UO₂F₂, растворенной в воде. Например, при концентрации ядер ²³⁵U в 1300 раз меньшей концентрации ядер водорода раствор имеет критический параметр при сфере диаметром 55.8см с толстым водяным отражателем. Вклад в сечение разбавления только водорода составляет 1.32см^-1, а полное макроскопическое сечение в первых двух резонансах ²³⁵U не превышает 0.013см^-1, т. е. с хорошей точностью выполняется условие отсутствия блокировки резонансных сечений.

Второй вывод. Когда сечение разбавления меньше или сравнимо с резонансными макросечениями, то среднее сечение взаимодействия в отдельном резонансе меньше, чем в случае сильного разбавления. Причем степень отличия сечений тем больше, чем более ярко выражена резонансная структура сечения (чем больше отношение сечения в максимуме резонанса к его ширине) и чем меньше степень разбавления (чем меньшую долю составляет сечение разбавления).

Третий вывод, как следствие рассуждений во втором выводе. При росте температуры, как было показано раньше, резонансы уширяются, т.е. они становятся менее ярко выраженными. Тогда и эффекты блокировки сечений будут слабее. Тогда при росте температуры будет расти сечение резонансного поглощения нейтронов ядрами.

Таким образом, резонансное поглощение нейтронов ядрами будет зависеть от температуры и тем существеннее, чем более «сильной» является резонансная структура сечений и чем меньше разбавлены ядра с резонансной структурой другими нуклидами. Рост температуры приводит к увеличению актов резонансного поглощения нейтронов.

Что будет в этом случае с реактивностью?

При росте температуры в сырьевых нуклидах (²³⁸U, ²³²Th) сечение радиационного захвата нейтронов в резонансной области энергий будет расти (эти ядра не делятся нейтронами в резонансной области энергий), что приведет к появлению отрицательного эффекта реактивности. Все существующие энергетические реакторы с большим содержанием в топливе ²³⁸U при росте температуры имеют отрицательный эффект реактивности, обусловленный доплер-эффектом. Это очень важное свойство реакторов - внутреннее свойство защиты реактора. При росте мощности, как бы быстро она не происходила, в связи с увеличением температуры возникает отрицательная реактивность, препятствующая разгону реактора. В частности, для ядер ²³⁸U при сечениях разбавления близких к средним сечениям резонансных взаимодействий в энергетических интервалах от десятков электронвольт до десятков килоэлектронвольт резонансное поглощение вырастает на 20-30% при росте температуры от 900К до 2000К.

В делящихся ядрах (²³⁵U, ²³⁹Pu) при росте температуры также будет происходить рост сечений поглощения в резонансной области энергий, что приведет к росту и числа делений и числа радиационных захватов. Но отношение сечений деления к сечениям радиационного захвата () в отдельных резонансах не будет изменяться при вариациях температуры, поскольку соотношения между парциальными ширинами не зависят от температуры. По этой причине вклад в реактивность доплер эффекта делящихся ядер будет не столь существеннен, как от сырьевых нуклидов.

Есть еще одна причина, которая снижает доплер эффект делящихся ядер в энергетических реакторах на тепловых нейтронах. В энергетических реакторах доля делящихся ядер мала в сравнении с сырьевыми ядрами (менее 5% для реакторов на тепловых нейтронах) и поэтому сечение разбавления для делящихся ядер относительно велико и, следовательно, влияние температуры на изменения сечений мало. По этим причинам вклад доплер-эффекта делящихся ядер в реактивность значительно меньше вклада в доплер-эффект сырьевых ядер.

В тех случаях, когда используется высокообогащенное топливо (например, в исследовательских реакторах, или в реакторах транспортного назначения) влияние доплер эффекта на реактивность будет менее существенной из-за одновременного роста сечений деления и радиационного захвата. Но до последнего времени существуют неоднозначные выводы о том, каков будет знак реактивности, обусловленный разогревом топлива с высоким содержанием делящихся нуклидов. Казалось бы все обстоит чрезвычайно просто. Для делящихся нуклидов среднее значение  меньше единицы и поэтому одновременный рост сечений деления и сечений радиационного захвата из-за доплер эффекта приведет к положительному эффекту реактивности, поскольку относительная добавка к сечению деления более значимая, чем аналогичная ко всем сечениям поглощения нейтронов.

Но надо принять во внимание следующие обстоятельства. В резонансной области много резонансов и в каждом своя величина , которая определяется отношением радиационной ширины к делительной. Причем радиационная ширина слабо изменяется от резонанса к резонансу, а делительная ширина подвержена громадным флуктуациям. Например, изотоп ²³⁹Pu в энергетическом интервале 0,3эВ – 85 эВ насчитывает более 25 резонансов. Радиационные ширины для этих резонансов лежат в пределах от 30 до 50 мэВ ( при погрешности в этих ширинах в среднем около 10мэВ). Делительные ширины для этих же резонансов варьируются от 3-х до 750 мэВ. Вклад в изменения сечений из-за доплер эффекта, как уже отмечалось, будет более существеннен для узких резонансов. В «делительных» резонансах, для которых  < 1 (Г_ < Г_f ) делительная ширина должна быть больше радиационной и вклад в доплер эффект будет менее значительный, чем в «радиационных» резонансах, для которых  > 1 (Г_ > Г_f ). Отсюда следует, что «делительные» резонансы вносят относительно меньший вклад в доплер эффект в сравнении с «радиационными».

Качественное рассмотрение показывает, что для получения d₃/dT необходимы детальные расчеты при разных температурах с учетом реальной конфигурации расположения материалов в активной зоне реактора. Результаты такого рода расчетов, выполненных для энергетических реакторов, оказалось возможным аппроксимировать следующим соотношением:

, (3.42)

где К_D - практически независящая от температуры константа для конкретной активной зоны реактора, называемая доплеровской постоянной. Очевидно, что эффект реактивности, обусловленный доплеровской постоянной, можно вычислить следующим образом:

(3.43)

Значения доплеровской постоянной зависят от состава топлива, от спектра нейтронов в реакторе, от степени самоблокировки сечений, от степени гетерогенности структуры активной зоны реактора. Для всех резонансных поглотителей доплеровская постоянная отрицательна, поскольку с ростом температуры растет сечение радиационного захвата нейтронов.

В энергетических реакторах на тепловых нейтронах основной вклад в доплеровскую составляющую температурного эффекта реактивности вносят ядра ²³⁸U. Вклад от других нуклидов топлива мал, поскольку их концентрации малы (содержание ядер ²³⁵U не превышает 4.5%, а содержание ²³⁹Pu в топливе еще меньше), кроме того сечения этих ядер слабо блокированы. В реакторах на быстрых нейтронах в доплеровский эффект реактивности основной вклад вносят также реакции поглощения нейтронов ядрами ²³⁸U. Вклад делящихся ядер мал по причине их меньшей концентрации и меньшей самоблокировки. Около 10% в доплер-эффект вносят ядра конструкционных материалов.

Типичные значения доплеровских постоянных показаны в таблице 3.3.

Таблица 3.3