Домашняя самостоятельная работа №7

Раздел 3 «Основы математического анализа »

Тема 3.6.: «Теория рядов.»

Исследовать на сходимость:

а)с помощью признака Даламбера знакоположительный ряд;

б)с помощью признака Лейбница знакочередующийся ряд, вычислить

приближенно и и оценить погрешность вычислений;

в)найти радиус степенного ряда и исследовать его сходимость на концах

полученного интервала.

1	а) б) в)
2	а) б) в)
3	а) б) в)
4	а) б) в)
5	а) б) в)
6	а) б) в)
7	а) б) в)
8	а) б) в)
9	а) б) в)
10	а) б) в)

Оценка «5» ставится, если работа выполнена в полном объёме, без ошибок в расчётах, с подробными пояснениями по ходу решения,выполнены чертежи, сделаны полные аргументированные выводы, аккуратно оформлена.

Оценка «4» ставится, если работа выполнена без ошибок в расчётах, даны недостаточно полные объяснения, сделаны выводы.

Оценка «3» ставится, если выполнено не менее 50% задания.

Оценка «2» ставится, если студент не справился с заданием (выполнено менее 50% задания).

Образец выполнения

Пример№1

Исследовать на сходимость с помощью признака Даламбера знакоположительный

ряд.

Общий член ряда:

Найдем ,заменив n на (n+1)

Вычислим предел

По признаку Даламбера делаем вывод:

Предел существует и равен ряд сходится

Пример№2

Исследовать на сходимость с помощью признака Лейбница знакочередующийся ряд.

Рассмотрим абсолютные величины членов данного ряда.

Следовательно, члены данного ряда монотонно убывают по абсолютной величине.

Рассмотрим

По признаку Лейбница ряд сходиться, причем и , если

и погрешность вычисления

Пример№3

Найти радиус сходимости степенного ряда и исследовать его сходимости на концах

интервала сходимости.

Имеем

Вычислим радиус сходимости

Интервал сходимости данного ряда равен (-7;7)

Исследуем на сходимость полученный знакочередующийся ряд

по признаку Лейбница

каждый предыдущий член ряда больше последующего,

Оба условия признака Лейбница выполняются и ряд сходиться, т.е. точка х=-7 принадлежит области сходимости данного степенного ряда.

При х=7 ряд принимает вид:

Исследуем на сходимость знакоположительный ряд

- гармонический ряд, расходится.

Поэтому точка х=7 не принадлежит области сходимости числового ряда.

Следовательно, область сходимости данного степенного ряда х[-7;7)