Образец выполнения контрольной работы по теме «Неопределённый интеграл»

Пример№1

Воспользуемся свойством интеграла:

Окончательно получим:

Пример№2

Пример№3

Числитель не является производной от знаменателя, поэтому используем выделение полного квадрата в знаменателе.

Обозначим Подставим новую переменную в данный интеграл:

Окончательный результат вычисления:

При вычисление воспользовались табличным интервалом:

Пример № 4

Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

Пример №5

Воспользуемся одной из тригонометрических подставок

В нашем примере

Данный интеграл преобразуем к виду:

Заменим переменную t первоначальной x

Пример №6

Введем новую переменную:

Домашняя самостоятельная работа №4

Раздел 3 «Основы математического анализа »

Тема 3.3.: «Интегральное исчисление функции одной переменной. Определённый интеграл»

№1. Найти определенный интеграл (по частям)(1 балл):

вариант	интеграл
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

№2. Вычислить несобственный интеграл (2 балла):

Вариант	Интеграл	Интеграл
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

№3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, а также объём тела, полученного при вращении данной фигуры вокруг оси ох(2 балла):

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Оценка «5» ставится, если работа выполнена в полном объёме, без ошибок в расчётах, с подробными пояснениями по ходу решения, сделаны полные аргументированные выводы, аккуратно оформлена( 5 баллов).

Оценка «4» ставится, если работа выполнена без ошибок в расчётах, даны недостаточно полные объяснения, сделаны выводы(4 балла).

Оценка «3» ставится, если выполнено не менее 50% задания (3 балла)

Оценка «2» ставится, если студент не справился с заданием (выполнено менее 50% задания)(2 балла и меньше).

Образец выполнения

Пример 1. Найти определённый интеграл по частям:

Пример 2. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

а)

Пусть и , сменим пределы интегрирования:

,

Пусть z=arctg t, тогда и новые пределы интегрирования будут:

-

интеграл сходится.

б)

Найдем точки, в которых подинтегральная функция терпит разрыв =0, и обе точки принадлежат отрезку интегрирования Тогда

Интеграл сходится.

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, и построить схематический чертеж фигур.

Решение.

Имеем параболу: и прямую: .

Нужно определить заштрихованную площадь.

Найдем общие точки фигуры (пределы интегрирования):

Отсюда .

Площадь фигуры определяется как:

Пример 4. Найти объем тела вращения вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями:

Решение.

Находим общие точки фигуры:

Отсюда и

Заштрихованная фигура вращается вокруг оси Ох.

Объем тела вращения определяется как: